Коэффициент пропорциональности (линейный коэффициент пропорциональности) равен отношению двух соответствующих сторон подобных фигур. Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Коэффициент пропорциональности используется для решения основных геометрических задач. Коэффициент пропорциональности можно использовать для вычисления длин неизвестных сторон. С другой стороны, по соответствующим сторонам можно вычислить коэффициент пропорциональности. Такие вычисления связаны с операцией умножения или с упрощением дробей.

Шаги

Вычисление коэффициента пропорциональности подобных фигур

Убедитесь, что фигуры подобны. У таких фигур все углы равны, а стороны соотносятся в некой пропорции. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но одна фигура больше другой.

В задаче должно быть сказано, что фигуры подобны, или что у них равные углы, или что стороны пропорциональны, или что одна фигура пропорциональна другой.

Найдите соответствующие стороны обеих фигур. Возможно, понадобится повернуть или зеркально отразить одну из фигур, чтобы выровнять обе фигуры и определить соответствующие стороны. Как правило, в задачах даются длины соответствующих сторон; в противном случае измерьте их. Если не знать значений хотя бы пары соответствующих сторон, нельзя найти коэффициент пропорциональности.
- Например, дан треугольник, основание которого равно 15 см, и подобный треугольник с основанием, равным 10 см.
Запишите отношение. У каждой пары подобных фигур есть два коэффициента пропорциональности: один используется при увеличении размера, а другой – при уменьшении. Если размер меньшей фигуры увеличивается до размера большей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона большей фигуры)/(сторона меньшей фигуры). Если размер большей фигуры уменьшается до размера меньшей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
- Например, если треугольник с основанием 15 см уменьшается до треугольника с основанием 10 см, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
  Подставив соответствующие значения, вы получите: коэффициент пропорциональности = .
Упростите отношение. Упрощенное отношение (дробь) является коэффициентом пропорциональности. При уменьшении размера коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь. При увеличении размера коэффициент пропорциональности представляет собой целое число или неправильную дробь, которую можно преобразовать в десятичную дробь.
- Например, отношение 10 15 {\displaystyle {\frac {10}{15}}} упрощается до . Таким образом, коэффициент пропорциональности двух треугольников с основаниями 15 см и 10 см равен 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} .
Вычисление сторон по коэффициенту пропорциональности
1. Найдите значения сторон фигуры. Значения сторон одной из подобных фигур будут даны; в противном случае измерьте их. Если стороны одной из подобных фигур неизвестны, нельзя вычислить стороны второй фигуры.
  - Например, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 см и 3 см, а гипотенуза равна 5 см.
2. Выясните, будет ли подобная фигура больше или меньше данной. Если больше, стороны будут больше, а коэффициент пропорциональности представляет собой целое число, неправильную или десятичную дробь. Если подобная фигура меньше данной, стороны будут меньше, а коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь.
  - Например, если коэффициент пропорциональности равен 2, подобная фигура больше данной.
3. Умножьте значение одной стороны на коэффициент пропорциональности. Коэффициент пропорциональности должен быть дан. Если умножить сторону на коэффициент пропорциональности, можно найти значение соответствующей стороны подобной фигуры.
  - Например, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, гипотенуза подобного треугольника вычисляется так: 5 × 2 = 10 {\displaystyle 5\times 2=10} . Таким образом, гипотенуза подобного треугольника равна 10 см.
4. Найдите значения остальных сторон подобной фигуры. Для этого умножьте известные значения сторон на коэффициент пропорциональности. Вы получите значения соответствующих сторон подобной фигуры.
  - Например, если основание прямоугольного треугольника равно 4 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, основание подобного треугольника вычисляется так: 4 × 2 = 8 {\displaystyle 4\times 2=8} . Таким образом, основание подобного треугольника равно 8 см. Если катет прямоугольного треугольника равен 3 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, катет подобного треугольника вычисляется так: 3 × 2 = 6 {\displaystyle 3\times 2=6} . Таким образом, катет подобного треугольника равен 6 см.
Примеры решения задач
1. Задача 1. Найдите коэффициент пропорциональности следующих подобных фигур: прямоугольник с шириной 6 см и прямоугольник с шириной 54 см.
  - Запишите отношение на основе двух значений ширины. При увеличении размера отношение запишется так: коэффициент пропорциональности = . При уменьшении размера отношение запишется так: коэффициент пропорциональности = .
  - Упростите отношение. Отношение 54 6 {\displaystyle {\frac {54}{6}}} упрощается до 9 1 = 9 {\displaystyle {\frac {9}{1}}=9} . Отношение 6 54 {\displaystyle {\frac {6}{54}}} упрощается до . Таким образом, коэффициент пропорциональности двух прямоугольников равен 9 {\displaystyle 9} или 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} .
2. Задача 2. Сторона неправильного многоугольника равна 14 см. Сторона подобного многоугольника равна 8 см. Найдите коэффициент пропорциональности.

Уравнением реакции в химии называется запись химического процесса с помощью химических формул и математических знаков.

Такая запись является схемой химической реакции. Когда возникает знак «=», то это называется «уравнение». Попробуем его решить .

Пример разбора простых реакций

В кальции один атом, так как коэффициент не стоит. Индекс здесь тоже не написан, значит, единица. С правой стороны уравнения Са тоже один. По кальцию нам не надо работать.

Смотрим следующий элемент - кислород. Индекс 2 говорит о том, что здесь 2 иона кислорода. С правой стороны нет индексов, то есть одна частица кислорода, а с левой – 2 частицы. Что мы делаем? Никаких дополнительных индексов или исправлений в химическую формулу вносить нельзя, так как она написана правильно.

Коэффициенты – это то, что написано перед наименьшей частью. Они имеют право меняться. Для удобства саму формулу не переписываем. С правой части один умножаем на 2, чтобы получить и там 2 иона кислорода.

После того как мы поставили коэффициент, получилось 2 атома кальция. С левой стороны только один. Значит, теперь перед кальцием мы должны поставить 2.

Теперь проверяем итог. Если количество атомов элементов равно с обеих сторон, то можем поставить знак «равно».

Другой наглядный пример: два водорода слева, и после стрелочки у нас тоже два водорода.

Два кислорода до стрелочки, а после стрелочки индексов нет, значит, один.
Слева больше, а справа меньше.
Ставим коэффициент 2 перед водой.

Умножили всю формулу на 2, и теперь у нас изменилось количество водорода. Умножаем индекс на коэффициент, и получается 4. А с левой стороны осталось два атома водорода. И чтобы получить 4, мы должны водород умножить на два.

Вот тот случай, когда элемент в одной и в другой формуле с одной стороны, до стрелочки.

Один ион серы слева, и один ион - справа. Две частицы кислорода, плюс еще две частицы кислорода. Значит, что с левой стороны 4 кислорода. Справа же находится 3 кислорода. То есть с одной стороны получается четное число атомов, а с другой – нечетное. Если же мы умножим нечетное в два раза, то получим четное число. Доводим сначала до четного значения. Для этого умножаем на два всю формулу после стрелочки. После умножения получаем шесть ионов кислорода, да еще и 2 атома серы. Слева же имеем одну микрочастицу серы. Теперь уравняем ее. Ставим слева уравнения перед серой 2.

Уравняли .

Сложные реакции

Этот пример более сложный, так как здесь больше элементов вещества.

Это называется реакцией нейтрализации. Что здесь нужно уравнивать в первую очередь:

С левой стороны один атом натрия.
С правой стороны индекс говорит о том, что здесь 2 натрия.

Напрашивается вывод, что надо умножить всю формулу на два.

Теперь смотрим, сколько серы. С левой и правой стороны по одной. Обращаем внимание на кислород. С левой стороны мы имеем 6 атомов кислорода. С другой стороны – 5 . Меньше справа, больше слева. Нечетное количество надо довести до четного значения. Для этого формулу воды умножаем на 2, то есть из одного атома кислорода делаем 2.

Теперь с правой стороны уже 6 атомов кислорода. С левой стороны также 6 атомов. Проверяем водород. Два атома водорода и еще 2 атома водорода. То есть будет четыре атома водорода с левой стороны. И с другой стороны также четыре атома водорода. Все элементы уравнены. Ставим знак «равно».

Следующий пример.

Здесь пример интересен тем, что появились скобки. Они говорят о том, что если множитель стоит за скобкой, то каждый элемент, стоящий в скобках, умножается на него. Начать необходимо с азота, так как его меньше, чем кислорода и водорода. Слева азот один, а справа, с учетом скобок, его два.

Справа два атома водорода, а нужно четыре. Мы выходим из положения, просто умножая воду на два, в результате чего получили четыре водорода. Отлично, водород уравняли. Остался кислород. До реакции присутствует 8 атомов, после – тоже 8.

Отлично, все элементы уравнены, можем ставить «равно».

Последний пример .

На очереди у нас барий. Он уравнен, его трогать не нужно. До реакции присутствует два хлора, после нее – всего один. Что же нужно сделать? Поставить 2 перед хлором после реакции.

Теперь за счет коэффициента, который только что поставлен, после реакции получилось два натрия, и до реакции тоже два. Отлично, все остальное уравнено.

Также уравнивать реакции можно методом электронного баланса. Этот метод имеет ряд правил, по которым его можно осуществлять. Следующим действием мы должны расставить степени окисления всех элементов в каждом веществе для того, чтобы понять где произошло окисление, а где восстановление.

Где x·y , x , y - средние значения выборок; σ(x), σ(y) - среднеквадратические отклонения.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: , где σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) - среднеквадратические отклонения, b - коэффициент перед x в уравнении регрессии y=a+bx .

Другие варианты формул:
или

К xy - корреляционный момент (коэффициент ковариации)

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1 (см. шкалу Чеддока). Например, при анализе тесноты линейной корреляционной связи между двумя переменными получен коэффициент парной линейной корреляции, равный –1 . Это означает, что между переменными существует точная обратная линейная зависимость.

Геометрический смысл коэффициента корреляции : r xy показывает, насколько различается наклон двух линий регрессии: y(x) и х(у) , насколько сильно различаются результаты минимизации отклонений по x и по y . Чем больше угол между линиями, то тем больше r xy .
Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии и определяет наклон линии регрессии, т.е. общую направленность зависимости (возрастание или убывание). Абсолютная величина коэффициента корреляции определяется степенью близости точек к линии регрессии.

Свойства коэффициента корреляции

|r xy | ≤ 1;
если X и Y независимы, то r xy =0, обратное не всегда верно;
если |r xy |=1, то Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, где a и b постоянные, а ≠ 0;
|r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1 , a 2 X+b 2)|, где a 1 , a 2 , b 1 , b 2 – постоянные.

Инструкция . Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. Пример нахождения уравнения регрессии). Также автоматически создается шаблон решения в Excel . .

Всем привет!

Вступив в сообщество ставок на спорт, не нашел никаких статей по теории ставок, хотя сам ставил и знаю, что теоретического материала в беттинге не меньше, чем в покере. Поэтому хочу разместить здесь несколько постов о математических и аналитических основах ставок на спорт. Надеюсь, кому-нибудь пригодится.

Начать хотелось бы с того, чего начинает каждый игрок: с линии букмекера. Первый вопрос, который возник у меня, когда я впервые взял в руки распечатанную линию: Как букмекер определяет всю эту массу коэффициентов?

Букмекерские конторы работают исключительно с целью извлечения прибыли. И, вопреки широко распространенному мнению, прибыль букмекера зависит не от количества проигранных ставок, а от правильно выставленных коэффициентов. Что значит "правильно"? Это значит, что при любом, даже самом неожиданном исходе события, букмекер должен остаться с прибылью.

Рассмотрим, как формируются коэффициенты. Сначала аналитики определяют шансы команд. Делается это многими способами, которые можно поделить на две группы: аналитические и эвристические. Аналитические - это в основном статистика и математика (теория вероятностей), эвристические - это экспертные оценки. Тем или иным образом комбинируя полученные результаты, выводятся вероятности исходов события. Допустим, в результате деятельности аналитиков и экспертов получены следующие вероятности исходов:

Это "чистые шансы", но эти коэффициенты никогда не будут в линии, потому что букмекер в этом случае не получит прибыли. В линии коэффициенты на эти события будут выглядеть примерно так:

То есть из каждой поставленной всеми игроками в сумме сто тысяч рублей, 75 000 было поставлено на победу 1, 15 000 на ничью и 10 000 - на победу 2. Большинство игроков чаще всего ставит на заведомых фаворитов, составляя на основе таких исходов большую часть экпрессов. Что же получит букмекер с каждой вложенной игроками сотни тысяч долларов в случае различных исходов?

Видно, что в случае победы фаворита, которая случается чаще всего, букмекер понесет убытки. Это совершенно недопустимо для бизнеса, и букмекер обязан исключить даже теоретическую возможность возникновения подобной ситуации.

Для этого он должен искусственно занизить коэффициент на фаворита. Букмекер заранее не знает, как в точности распределятся ставки, но знает наверняка, что игроки будут "грузить" на фаворита, поэтому для страховки завышает вероятность победы фаворита.

В реальности ни реальные шансы, ни распределение средств игроками точно рассчитать невозможно, всегда существует некоторая погрешность. Поэтому букмекеры стараются изначально занизить коэффициенты на фаворита, чтобы гарантировать себе прибыль, т.е. определяют шансы команд и добавляют к рассчитанной вероятности победы фаворита 10-20%. А по мере поступления ставок, в зависимости от их реального текущего распределения, варьируют коэффициентами, чтобы прибыль была наибольшей.

Вывод: основной принцип, которым руководствуется букмекер - распределение финансов между двумя или более группами игроков таким образом, чтобы выплачивать выигрыши за счет средств проигравших, оставляя определенный процент себе. Очень часто полученные таким образом коэффициенты не имеют ничего общего с вероятностями тех или иных событий. Поэтому нужно иметь собственную систему оценки спортивных событий.

Спасибо за внимание!

В математических описаниях используется термин «числовой коэффициент », в частности, при работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными удобно использовать понятие числового коэффициента выражения. В этой статье мы дадим определение числового коэффициента выражения и разберем примеры его нахождения.

Навигация по странице.

Определение числового коэффициента, примеры

В учебнике Н. Я. Виленкина математика для 6 классов дается следующее определение числового коэффициента выражения .

Определение.

Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения .

К слову, числовой коэффициент часто называют просто коэффициентом.

Озвученное определение позволяет привести примеры числовых коэффициентов выражений . Для начала рассмотрим произведение числа 3 и буквы a вида 3·a . Число 3 - это числовой коэффициент этого выражения по определению. Другой пример: в произведении x·y·0,2·x·x·z единственным числовым множителем является 0,2 , она и является числовым коэффициентом этого выражения.

А теперь приведем контр пример. Число 3 не является числовым коэффициентом выражения 3·x+y , так как исходное выражение не является произведением. Зато это число 3 является числовым коэффициентом первого из слагаемых в исходном выражении.

А в произведении 5·a·2·b·3·c содержится не одно, а три числа. Для определения числового коэффициента этого выражения, его нужно преобразовать в произведение, содержащее единственный числовой множитель. Как это делается, мы разберемся в следующем пункте этой статьи, в этом заключается процесс .

Стоит отметить, что произведения одинаковых букв могут быть записаны в виде , поэтому определение числового коэффициента подходит и для выражений со степенями. Например, выражение 5·x 3 ·y·z 2 по сути является выражением вида 5·x·x·x·y·z·z , его коэффициентом по определению является число 5 .

Также нужно остановиться на числовых коэффициентах 1 и −1 . Их особенность заключается в том, что они почти никогда не записываются в явном виде. Если выражение представляет собой произведение нескольких букв (без числового множителя) и передним стоит знак плюс, или нет никакого знака, то числовым коэффициентом такого выражения считается число 1 . Если перед произведением нескольких букв стоит знак минус, то коэффициентом такого выражения считается число −1 . Например, числовой коэффициент выражения a·b равен единице (так как a·b можно записать как 1·a·b ), а числовой коэффициент выражения −x равен минус единице (так как −x тождественно равен выражению (−1)·x ).

В дальнейшем определение числового коэффициента расширяется с произведения числа и нескольких букв на произведение одного числа и нескольких буквенных выражений. Так, например, в произведении число −5 можно считать числовым коэффициентом. Аналогично, число 3 есть коэффициент выражения 3·(1+1/x)·x , а - коэффициент выражения .

Нахождение числового коэффициента выражения

Когда выражение представляет собой произведение с одним числовым множителем, этот множитель и является числовым коэффициентом. Когда выражение имеет другой вид, то нахождение его числового коэффициента подразумевает предварительное выполнение некоторых тождественных преобразований , с помощью которых исходное выражение приводится к произведению с одним числовым множителем.

Пример.

Найдите числовой коэффициент выражения −4·x·(−2) .

Решение.

Сгруппируем множители , являющиеся числами, после чего выполним их умножение: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x . Теперь отчетливо виден искомый коэффициент, он равен 8 .

Интернет