Изучив эту тему, вы узнаете и повторите:

Какие системы счисления существуют;
- как осуществляется перевод чисел из одной системы счисления в другую;
- с какими системами счисления работает компьютер;
- как представляются различные числа в памяти компьютера.

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения (кодирования) числовой информации.

Маленькие дети показывают свой возраст на пальцах. Лётчик сбил самолёт, ему за это рисуют звёздочку, Робинзон Крузо считал дни зарубками.

Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.

Что такое цифра?

Это алфавит чисел, набор символов, с помощью которых мы кодируем числа. Цифры – числовой алфавит.

Цифры и числа – это разные вещи! Рассмотрим два числа 5 2 и 2 5. Цифры одни и те же – 5 и 2.

А чем эти числа отличаются?

Порядком цифр? – Да! Но лучше сказать - позицией цифры в числе.

Давайте подумаем, что же это такое системы счисления?

Это запись чисел? Да! Но мы не можем писать так, как нам вздумается - нас должны понимать другие люди. Поэтому необходимо ещё использовать и определенные правила их записи.

Понятие системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных - не зависит.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных, поэтому рассмотрим сначала различные непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Непозиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

К непозиционным системам относятся: римская система счисления, алфавитные системы счисления и другие.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».

Первыми понятиями математики были "меньше", "больше", "столько же".

Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.

И, так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы.

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использующие с 20-ую систему счисления.

Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы.

Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12.

Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными:

Для чисел от 13 до 19 -- окончание слов -- teen. Например, 15 -- fiveteen.

Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Например, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») система счисления

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждому объекту в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу. Перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Интересный способ для записи чисел использовался индийскими цивилизациями примерно в VIII веке до новой эры. Они применяли «узелковое письмо» - связанные между собой нити. Знаками на этих нитях служили узелки, часто с вплетенными в них камнями или ракушками. Узелковая запись чисел позволяла Инкам передавать информацию о числе воинов, обозначать количество умерших или родившихся в той или иной провинции и так далее.

Около 1100 года н. э. английский король Генрих I изобрел одну из самых необычных денежных систем в истории, названную системой «мерных реек». Эта денежная система продержалась 726 лет и была отменена в 1826 году.

Деревянная полированная рейка с зарубками, обозначающими номинал, расщеплялась по всей длине так, чтобы сохранить зарубки.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Древнеегипетская десятичная система счисления (2,5 тысяч лет до н.э.)

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки - иероглифы.

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя, и вы сразу поймете, что для работы с этой системой нужен специальный человек. Обычному человеку это не под силу.

Римская десятичная система счисления (2 тысячи лет до н.э. и до наших дней)

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система.

Главная проблема с римскими цифрами заключается в том, что сложно производить умножение и деление. Другим недостатком римской системы является: Запись больших чисел требует введения новых символов. А дробные числа можно записывать только как отношение двух чисел. Тем не менее, они были основными до конца средних веков. Но и в наше время их ещё используют.

Вспомните где?

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется.

Запомните: 5, 50, 500 не повторяются!

А какие могут повторяться?

Если слева от старшей цифры стоит младшая, то она отнимается. Если младшая цифра стоит справа от старшей, то она прибавляется - I, X, C, M могут повторяться до 3-х раз.

Например:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (Сто - C, сорок - XL, а девять - IX) = CXLIX

Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавитные системы счисления
Славянская кириллическая десятеричная алфавитная

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:

Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

= 800+60+3

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.

Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.

Древнеиндийские системы счисления

Система счисления кхарошти имела хождение в Индии между VI веком до нашей эры и III веком нашей эры. Эта была непозиционная аддитивная система счисления. О ней мало что известно, так как сохранилось мало письменных документов той эпохи. Система кхарошти интересна тем, что в качестве промежуточного этапа между единицей и десятью выбирается число четыре. Числа записывались справа налево.

Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна система счисления брахми.

Числа брахми записывались слева направо. Однако в обеих системах было не мало общего. В частности первые три цифры очень похожи. Общим было то, что до сотни применялся аддитивный способ, а после мультипликативный. Важным отличием цифр брахми, было то, что цифры от 4 до 90, были представлены только одним знаком. Эта особенность цифр брахми в дальнейшем была использована при создании в Индии позиционной десятичной системы.

В древней Индии так же была словесная система счисления. Она была мультипликативная, позиционная. Знак нуля произносился как «пустое», или «небо», или «дыра». Единица как «луна», или «земля». Двойка как «близнецы», или «глаза», или «ноздри», или «губы». Четыре как «океаны», «стороны света». Например, число 2441 произносилось так: глаза океанов стороны света луны.

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли, финансовой системы возникла потребность в единой универсальной системе счисления, хотя и сейчас многие племена, нации и народности используют другие системы счисления.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Позиционные системы счисления

Позиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и... т.д.

Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

Считается, что десятичная система была у шумеров, а после того как их завоевали семиты, их система была приспособлена под шестидесятеричную систему семитов.

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

Древнекитайская десятеричная

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.

Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет

Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).

Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет . Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел:

В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке.

Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение.

Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:

К"ин = 1 день. Виналь = 20 к"ин = 20 дней. Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года. К"атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет. Бак"тун = 20 к"атун = 144000 дней = около 400 лет. Пиктун = 20 бак"тун = 2880000 дней = около 8000 лет. Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет. К"инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет. Алавтун = 20 к"инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.

Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.

История «арабских» чисел.

История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Вот один из вариантов этого истории этого происхождения. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа.

Как мы уже знаем, в вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы (например, Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).

Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.

Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде европейских купцов.

В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.

Форма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI веке.

Даже Пушкин предложил свой вариант формы арабских чисел. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в магическом квадрате.

Десятичная позиционная система счисления

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий - изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

Мухаммед бен Муса ал-Хорезм

Приблизительно в 850 году н.э. он написал книгу об общих правилах решения арифметических задач при помощи уравнений. Она называлась "Китаб ал-Джебр". Эта книга дала имя науке алгебре.

Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником "индийской" арифметики для всех европейских городов.

История нуля.

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне. На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью".

Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum – это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.

Нуль - это уникальный знак. Нуль – это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!

Основания, используемые в наши дни:

10 - привычная десятичная система счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты - на 60 секунд, угла - на 360 градусов.

12 - распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов

7 - используется для счета дней недели

Это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы древности

Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т. д. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками - цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз - знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает; поэтому они называются непозиционными системами счисления.

Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

Цифры майя

С позиционной десятичной системой счисления вы знакмы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.

Что означает свойство позиционности системы счисления, легко понять на примере любого многозначного десятичного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные значения.

333 = 3 · 100 + 3 · 10 + 3.

Еще пример:

32 478 = 3 · 10 000 + 2 · 1000 + 4 · 100 + 7 · 10 + 8 = 3 · 10 4 + 2 · 10 3 + 4 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0 .

Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26,387 = 2 · 10 1 + 6 · 10 0 + 3 · 10 -1 + 8 · 10 -2 + 7 · 10 -3 .

Очевидно, число «десять» - не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н. Н. Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание системы, к которой относится число, обычно обозначается подстрочным индексом к этому числу:

101101 2 , 3671 8 , ЗВ8F 16 .

А как строится ряд натуральных чисел в разных позиционных системах счисления? Происходит это по тому же принципу, что и в десятичной системе. Сначала идут однозначные числа, потом двузначные, затем трехзначные ит. д. Самое большое однозначное число в десятичной системе - 9. Затем следуют двузначные числа - 10, 11,12, … Самое большое двузначное число - 99, далее идут 100, 101, 102 и т. д. до 999, затем 1000 и т. д.

Для примера рассмотрим пятеричную систему. В ней ряд натуральных чисел выглядит так:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Видно, что здесь число цифр «нарастает» быстрее, чем в десятичной системе. Быстрее всего число цифр растет в двоичной системе счисления. В следующей таблице сопоставляются начала натуральных рядов десятичных и двоичных чисел:

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

Коротко о главном

Система счисления - это определенный способ записи чисел и соответствующие правила действия над числами.

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Примером непозиционной системы является римская система записи чисел.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от позиции цифры в числе.

Алфавит системы счисления - множество цифр, используемых в ней. Основание системы счисления равно мощности алфавита (числу цифр).

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления - 2. Такая система называется двоичной.

Арабская система записи чисел является десятичной, позиционной.

Вопросы и задания

1. Что такое система счисления?
2. В чем основное различие позиционных и непозиционных систем счисления?
3. Чему равно основание системы счисления?
4. Почему арабская система записи чисел называется десятичной позиционной?
5. Каково наименьшее основание для позиционной системы?
6. Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные римскими цифрами:
XI; IX; LХ; CLX; МDCХLVIII?
7. Запишите римскими цифрами числа, равные следующим десятичным:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. Запишите последовательность двадцати чисел натурального ряда, начиная от единицы, для позиционных систем с основаниями 2, 3, 5, 8. Оформите результаты в виде таблицы:

n = 10	1	2	3	...	19	20
n = 2
n = 3
n = 5
n = 8

9. Постройте таблицы умножения для однозначных чисел в двоичной и троичной системах счисления.

И. Семакин, Л. Залогова, С. Русаков, Л. Шестакова, Информатика, 9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов

Сборник конспектов уроков информатики , учебная программа по информатике 9 класс , материалы для подготовки к урокам, готовые домашние задания

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения (кодирования) числовой информации.

Что такое цифра?

Цифры и числа – это разные вещи! Рассмотрим два числа 5 2 и 2 5. Цифры одни и те же – 5 и 2.

А чем эти числа отличаются?

Порядком цифр? – Да! Но лучше сказать - позицией цифры в числе.

Давайте подумаем, что же это такое системы счисления?

Понятие системы счисления

Для записи информации о количестве объектов использу ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления

К непозиционным системам относятся: римская система счисления, алфавитные системы счисления и другие.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».

Первыми понятиями математики были " меньше ", " больше ", " столько же ".

Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать , сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

И, т ак как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использую щие с 20-ую систему счисления.

Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы.

Для чисел от 13 до 19 -- окончание слов -- teen. Например, 15 -- fiveteen.

Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Н апример, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел.

Единичная («палочная») система счисления

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

Древнеегипетская десятичная система счисления

(2,5 тысяч лет до н.э.)

Пример1. Запишите число 1 245 386 в древнеегипетской записи

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена.

Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения .

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.

Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления .

Как же египтяне считали?

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел.

Пример. 19 * 31

Египтяне последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующую степень двойки.

Римская десятичная система счисления

(2 тысячи лет до н.э. и до наших дней)

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система.

Вспомните где?

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Запомните: 5, 50, 500 не повторяются!

А какие могут повторяться?

Например:

1)MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2)149 = (Сто - C, сорок - XL, а девять - IX) = CXLIX

Алфавитные системы счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления были распространены у древних армян, грузин, греков (альфа, бэта, гамма), арабов, евреев, и других народов Ближнего Востока, а также у славян (аз, буки, веди).

Пример. Запишем число 444 в славянской системе.

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр».

Удобны ли алфавитные системы?

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и .. .

Десятичная п озиционная система счисления

Основания, используемые в наши дни:

10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд, угла — на 360 градусов.

12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов

7 используется для счета дней недели

Домашнее задание: - выучить определение "система счисления" и классификацию СС

1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: МС I Х, L Х V ?

2. Запишите год своего рождения:

А) в древнеегипетской системе счисления;

б) в римской системе счисления;

В) в древнеславянской системе счисления.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бульшее число предметов, объединялась в понятии «много». Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее-черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.

Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).

Большие числа славяне записывали теми же буквами, но для обозначения тысяч рядом с буквой слева^ внизу ставили знак Т" , например: 10ОО-*А; 3000-* Г. Число 10000 обозначали той же буквой, что и 1, но без титла, и ее обводили кружком. Называлось это число «тьма». Отсюда и выражение «тьма народу». Число следующего разряда-100 000-называлось «легион». Для обозначения этого числа писали букву А и вокруг нее ставили кружок из точек; 10 легионов составляли новую единицу-леодр. Леодр обозначали буквой А, заключенной в кружок из черточек. Тьма тем (т. е. 1012) называлась «легион», легион легионов (т. е. 1024)-«леодр», леодр леодров (т. е. 1048)-«ворон», и наконец, число 1049 называлось «колода». Для обозначения воронов букву ставили в кружок из крестиков. Для больших чисел уже названий не было.

У нас на Руси в далеком прошлом цифры обозначались буквами церковнославянского алфавита:

«аз» «веди» «глаголь» и т. д.

Для того чтобы буква стала числом, наверху ставился особый знак «титло» ([-") Например, число одиннадцать изображалось так: 5) , двадцать два - так: 1^6. И только в начале XVIII века на Руси стали пользоваться «арабскими цифрами», которые арабы позаимствовали у индийцев. современном их начертании: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти обозначения вошли в первый печатный курс арифметики на русском языке, составленный Л. Ф. Магницким и опубликованный в 1703 году.

Кроме того, на Руси пользовались римской нумерацией. Согласно этой нумерации:

«и» «вэ» «икс» «эль» «цэ» «дэ» «эм»

151050100 500 1000

Она сохранилась до настоящего времени. Ею, например, пользуются теперь для обозначения цифр на циферблате часов, при обозначении глав и некоторых страниц в книгах и т. д.

В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C - 200, Л - 30, А - 1).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы. счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бульшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бульшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бульшей). Например, VI = 6, т. е. 5 + 1, IV = 4, т. е. 5 - 1, XL = 40, т е. 50 - 10, LX = 60, т. е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в. , а в других странах Западной Европы - до 16 в.

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Необходимо также заметить, что индийские математики впервые в истории ввели нуль как знак, говорящий об отсутствии единиц того или иного разряда - числа, написанного в десятичной позиционной системе счисления. Индийское название нуля - «сунья», что в дословном переводе означает «пусто».

Открытие индийцев было воспринято» арабскими учеными, которые в VIII веке занесли его в Европу. «Арабская нумерация», заимствованная у индийцев, поскольку она была проще и удобнее всех остальных систем счисления, постепенно распространилась по всей Европе и вытеснила полностью или частично все другие системы нумераций.

Существовали системы счисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

Древние египтяне пользовались десятичной системой, тогда как древние вавилоняне употребляли шестидеся-теричную систему счисления. Например, число 2-60+13

ММ А МММ в обозначении вавилонян выглядело так: -у у\ у у у

Как египтяне, так и вавилоняне еще не владели поместным (позиционным) значением цифр. Секрет поместного значения цифр был открыт индийскими математиками примерно полторы тысячи лет тому назад. Они впервые в мировой науке стали пользоваться позиционной десятичной нумерацией.

В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом П (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком черточек), число 100-знаком в (это символ измерительной веревки) и т. д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: "К©

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н. э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака-прямой клин у (1) и лежащий клин * (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: *ч -4 У Т V Число 60 снова обозначалось знаком у, например число 92 записывали так: Т^-ч^ТТ

Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ 4 для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда - числа 12 - «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе - гросс - встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В. В. Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатиричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах. В начале нашей эры индейцы племени майя, которые на полуострове Юкотан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления- двадцатиричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 - горизонтальной чертой, например запись " " " " означала 14. В системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, А, Н, X, М, а число 1-черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения р (50) ддд~(35) и т. д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Интересно отметить, что арабы слово «сунья» перевели на свой язык термином «цифра» (аз з1!г). Таким образом, раньше словом цифра назывался только нуль. Именно в этом смысле слово цифра употреблял итальянский математик начала XIII века Фибоначчи, выпустивший в 1202 году арифметическую книгу под названием «Книга об абаке» (абак - счетная доска, предшественница наших конторских счетов). В таком же смысле это слово употребляет в начале XVIII века первый составитель печатной арифметики Л. Ф. Магницкий. Однако с течением времени европейцы под цифрами стали понимать знаки: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а первый из них назвали нулем.

В Китае и Японии для записи чисел применялись иероглифы.

Современная десятичная запись натуральных чисел впервые появилась в Индии в VI в. Через арабов, завоевавших в УИ-УШ вв. обширные районы Средиземноморья и Азии, индийская нумерация получила широкое распространение. Отсюда и название - арабские цифры.

В страны Европы новая, индийская нумерация была также занесена арабами в Х-Х1П вв. , однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось ставить только римские цифры. Лишь к началу XIX в. индийскую нумерацию стали применять повсеместно.

В России уже в XVII в. во всех без исключения математических рукописях встречается только позиционная десятичная система счисления.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Однако наиболее употребительной оказалась индо -арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

В современном мире известно множество способов представления чисел. Число можно представить группой символов некоторого алфавита.
Система счисления – совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т.д.
Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от места, где он расположен.
Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы счисления связывают со счетом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 12 (счет дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французком языке, например quatre – vingts, т. е. буквально четыре – двадцать, означает 80), 40, 60 и др. При вычислениях на ЭВМ часто применяется система счисления с основанием 2.

У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Еще в 19 веке у многих племен Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 -–два – один, 4 – два – два, 5 – два – два – один и 6 – два – два – два. О всех числах, больших 6, говорили «много», не индивидуализируя их. С развитием общественно – хозяйственной жизни возникла потребность в создании систем счисления, которые позволяли бы и обозначать все большие совокупности предметов. Одной из наиболее древних систем счисления является египетская иероглифическая нумерация, возникшая еще за 2500 – 3000 лет до н. э. Это была десятичная непозиционная система счисления, в которой для записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом стоящими цифрами, складываются).
Аналогичными системами счисления были греческая геродианова, римская, сирийская и др.

Римские цифры – традиционное название знаковой системы для обозначения чисел, основанной на употреблении особых символов для десятичных разрядов:
I V X L С D M
1 5 10 50 100 500 1000
Более совершенными системами счисления являются алфавитные: ионийская, славянская, еврейская, арабская, а также грузинская и армянская.
В алфавитных системах счисления, запись чисел гораздо короче, чем в предыдущих; кроме того, над числами, записанными в алфавитной нумерации, гораздо легче производить арифметические действия. Однако в алфавитных системах счисления нельзя записывать сколь угодно большие числа.
В системе счисления древних вавилонян, возникшей примерно за 2000 лет до н. э. все числа записывались с помощью двух знаков: (для единицы) и (для десяти). Числа до 60 записывались как комбинации этих двух знаков с применением принципа сложения. Число 60 снова обозначалось знаком, являясь единицей высшего разряда. Для записи чисел от 60 до 3600 вновь применялся принцип сложения, а число 36 000 обозначалась тем же знаком, что и единица, и т. д. Число 343=5*60+4*10+3 в этой системе записывалось так:
Однако в силу отсутствия знака для нуля, которым можно было бы отмечать недостающие разряды, запись чисел в этой системе счисления не была однозначной. Особенностью вавилонской системы счисления было то, что абсолютное значение чисел оставалось неопределенным.

Другая система счисления основанная на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова Юкатан (Центральная Америка) в середине 1 – го тыс. н. э. У майя существовали две системы счисления: одна, напоминающая египетскую, употреблялась в повседневной жизни, другая – позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля, применялась при календарных расчетах. Запись в этой системе, как и в нашей современной, носила абсолютный характер.

Современная десятичная позиционная система счисления возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии. До этого в Индии имелись системы счисления, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого – нибудь разряда умножается на стоящее слева число). Аналогично строились старокитайская система счисления и некоторые другие. Если, например, условно обозначить число 3 символом III, а число 10 символом X, то число 30 запишется как IIIX (три десятка). Такие системы счисления могли служить подходом к мозданию десятичной позиционной нумерации.

Десятичная позиционная система дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система счисления начинает распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 веке появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система счисления, в 10 веке десятичная позиционная нумерация доходит до Испании, в начале 12 века она появляется и в других странах Европы. Новая система счисления получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 веке новая нумерация получила широкое распространение в науке и житейском обиходе. В России она начинает распространятся в 17 веке и в самом начале 18 в. вытесняет алфавитную. С введением десятичных дробей десятичная позиционная система счисления стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

Инф. технологии