Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Иногда в задачах B14 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ. В этом случае работают другие приемы, один из которых монотонность. Определение Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее: x 1

Определение. Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее: x 1 f (x 2). Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)">

Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0: 1 и убывает при 0 0:"> 1 и убывает при 0 0:"> 1 и убывает при 0 0:" title="Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:"> title="Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:">

0) или вниз (a 0) или вниз (a 9 Координаты вершины параболы Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график стандартная парабола, в которой нас интересуют ветви: Ветви параболы могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a 0) или наибольшее (a 0) или вниз (a 0) или вниз (a 0) или наибольшее (a 0) или вниз (a 0) или вниз (a title="Координаты вершины параболы Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график стандартная парабола, в которой нас интересуют ветви: Ветви параболы могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a

Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума; Но таких точек всего одна это вершина параболы x 0, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам: Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле: Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3">

Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> title="Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1">

Найдите наибольшее значение функции: Решение: В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде: Очевидно, что график этой функции парабола, ветви вниз (a = 1

Следствия из области определения функции Иногда для решения задачи B14 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" class="link_thumb"> 26 1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю: 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:">

Решение Под корнем снова квадратичная функция. Ее график парабола, но ветви направлены вниз, поскольку a = 1
Теперь найдем вершину параболы: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Точка x 0 = 1 принадлежит отрезку ОДЗ и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0, а также на концах ОДЗ: y(3) = y(1) = 0 Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее это число 2. Ответ: 2

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают. Ищем вершину параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ·) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Ответ: -2

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых - монотонность .

Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ).

Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x , тем больше f (x ). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x , тем меньше f (x ).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит - сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c . Его график - стандартная парабола, в которой нас интересуют:

Ветви параболы - могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Вершина параболы - точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию - забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
Но таких точек всего одна - это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике - именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Под корнем стоит квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x 0 - точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График - парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x - монотонная, поэтому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции - парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция - показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка , а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби - никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график - парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ - и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0 , а также на концах ОДЗ:

y (−3) = y (1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее - это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x 2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму :

1 . Находим ОДЗ функции.

2 . Находим производную функции

3 . Приравниваем производную к нулю

4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5 . Находим точки максимума и минимума функции .

В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-" .

В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+" .

6 . Находим значение функции в концах отрезка,

затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для

1 . Задание B15 (№ 26695)

На отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

Ответ: 5.

2 . Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0">

Ответ: 5.

3 . Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: и

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции .

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева .

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция непрерывна в точке справа , если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева , если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём . В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)

Согласно второй теореме Вейерштрасса , непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

В нашем случае:

Примечание : в теории распространены записи .

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции , наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ , что максимум функции и минимум функции . Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо !

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках , которые принадлежат данному отрезку .

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует , что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение :
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :