Здесь: 1 - истина, 0 - ложь.

• 1. Х: треугольник АВС - остроугольный. Х: неверно, что треугольник АВС - остроугольный. Это все равно, что: Х: треугольник АВС - прямоугольный или тупоугольный
• 2. А: Иванова М. На экзамене по математике получила 4. : Неверно, что Иванова М. по математике получила 4.

Определение: Дизъюнкцией высказывания А и В называется высказывание АВ, истинное при условии, что хотя бы одно из высказываний А или В истинно.

Его читают «А или В».

Таблица истинности для АВ

Пример: 1. На этот раз ответчик явился и суд состоялся. - истина

2. В прямоугольном треугольнике сумма двух любых углов больше или равна третьего угла и гипотенуза меньше катета. - ложь

Определение: Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, ложное лишь при условии, что А истинно, а В ложно.

Его читают: «Если А, то В».

Таблица истинности

Пример: 1. Если я сдам зачет, то пойду в кино.

2. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Определение: Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание АВ, истинное в том и только в том случае, когда А и В имеют одну и ту же истинность (т.е. либо оба истинны, либо оба ложны).

Читают: «А тогда и только тогда, когда В» или «А необходимо и достаточно для В»

Таблица истинности

Вторая задача, решаемая средствами алгебры высказываний, состоит в том, чтобы определить истинность конкретного высказывания на основе составления его формулы (процесс формализации) и составления таблицы истинности.

Пример: Если Саратов расположен на берегу Невы, то в Африке обитают белые медведи.

А: Саратов расположен на берегу реки Невы;

В: В Африке обитают белые медведи

Определение: Формула, которая истинна независимо от того, какие значения принимают входящие в нее высказывательные переменные, называется тавтологией или тождественно истинной формулой.

Определение: Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция - тавтология.

Определение: Если формулы F 1 и F 2 равносильны, то предложения Р 1 и Р 2 , которые инициируют эти формулы, называются равносильными в логике высказываний.

Основные, наиболее часто встречающиеся равносильности, называют законами логики. Перечислим некоторые из них:

• 1. Х Х - закон тождества
• 2. Х Л - закон противоречия
• 3. Х И - закон исключения третьего
• 4. Х - закон двойного отрицания

• 5. законы коммутативности
• 6. Х (У Z) (Х У) Z закон ассоциативности

Х (У Z) (Х У) Z закон дистрибутивности

7. законы Де Моргана

8. законы сочленения переменной с константой

Используя законы логики, можно преобразовывать формулы.

4. Из множества формул, равносильных между собой, рассмотрим две. Это - совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Они строятся для данной формулы на основе ее таблицы истинности.

Построение СДНФ:

• -- выбираются строки, соответствующие значениям истинности (1) данной формулы;
• -- для каждой выделенной строки составляем конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам значений переменных, представленных в строке, соответствовали истинные значения конъюнкции (для этого надо переменные, которые в этой строке принимали значения ложь (0) взять со знаком отрицания, а переменные, принимающие значения истинности (1) без отрицания);
• -- составляется дизъюнкция полученных конъюнкций.

Из алгоритма следует, что для любой формулы можно составить СДНФ, и притом единственную, если формула не является тождественно ложной, т.е. принимающей только ложные значения.

Составление СКНФ осуществляется по следующему алгоритму:

• -- выделить те строки таблицы, в которых формула принимает значение ложь (0);
• -- из переменных, стоящих в каждой такой строке, составить дизъюнкцию, которая должна принимать значения - ложь (0). Для этого все переменные должны войти в нее со значением ложь, следовательно те, которые истинны (1), надо заменить их отрицанием;
• -- из полученных дизъюнкций составить конъюнкцию.

Очевидно, что любая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ.

СДНФ и СКНФ используются для получения следствий из данной формулы.

Пример: Составить таблицу истинности СДНФ и СКНФ для формулы: .

Таблица истинности СДНФ и СКНФ

5. Рассмотрим высказывательные форму «Река впадает в Черное море». Она содержит одну переменную и может быть представлена в виде «Река х впадает в Черное море».

В зависимости от значений переменной Х предложение является либо истинным, либо ложным, т.е. задается отображение множества рек на двух элементное множество. Обозначим это отображение, тогда:

Таким образом, имеем функцию, все значения которой принадлежат множеству.

Определение: Функция, все значения которой принадлежат множеству, называется предикатом.

Буквы, обозначающие предикаты, называют предикатными символами.

Предикаты могут задаваться:

a) высказывательной формулой,

b) формулой, т.е. задавая интерпретацию предикатного символа,

c) таблицей.

1) Р - «впадать в Черное море».

Эта формула означает, что «Река а впадает в Черное море».

• 2) Предикат Р задан высказывательной формулой: «быть простым числом на множестве первых 15 натуральных чисел».
• 3) В табличной форме предикат имеет вид:

Областью определения предикатов может быть любое множество.

Если предикат при каком-либо наборе входящих переменных теряет смысл, то принято считать, что этому набору соответствует значение Л.

Если предикат содержит одну переменную, то его называют одноместным, две переменные - двуместным, n переменных - n-местным предикатом.

Для перевода текстов на язык предикатов и определения их истинности необходимо ввести логические операции над предикаторами и кванторы.

Над предикатами выполняются так же операции: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.

Определение: Подмножество множества М, на котором задан предикат Р, состоящий из тех и только тех элементов М, которым соответствует значение И предиката Р, называется множеством истинности предиката Р.

Множество истинности обозначается.

Определение: Отрицанием предиката Р называется предикат, ложный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в истинный, и истинный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в ложный предикат.

Обозначается отрицание.

Быть студентом АБиК.

Не быть студентом АБиК.

Если, то множество, где М - множество, на котором заданы предикаты Р и Q .

Определение: конъюнкцией предикатов и называется предикат истинный при тех и только тех значениях переменных, входящих в него, которые обращают оба предиката и в истинные.

Быть футболистом

Быть студентом

: быть футболистом и быть студентом.

Определение: дизъюнкцией предикатов и называется предикат ложный при тех наборах входящих в него переменных, которые обращают оба предиката в ложные

Быть четным натуральным числом

Быть нечетным натуральным числом

: быть натуральным числом.

Определение: Импликацией предикатов называется предикат, ложный при тех и только тех наборах входящих в него переменных, которые обращают в истинный предикат, а - в ложный.

Обозначается:

Быть простым числом на множестве N

Быть нечетным числом

Ложен при и истинным при других натуральных числах.

Определение: Эквиваленцией предикатов и называется предикат, который становится истинным, если оба предиката и истинны, или оба ложны.

Обозначается:

- «выигрывать», т.е. х выигрывает у

Лучше знать шахматную историю, х знает лучше у

обозначает, что х выигрывает у у в шахматы тогда и только тогда, когда он лучше знает теорию.

Определение: Предикат следует из предиката если импликация истинна при любых входящих в нее значениях переменных.

Обозначаются следования: .

Быть студентом

Ходить в институт

Для превращения предиката в высказывание существуют 2 пути:

1) придание переменной конкретного значения

; х - студент

Иванов - студент.

2) Навешивание кванторов - любой, всякий, каждый

Существует, имеется.

Запись, где обладает свойством Р означает, что всякий предмет х обладает свойством Р. Или по другому, «все х обладают свойством Р».

Запись означает, что существует предмет х, обладающий свойством Р.

Жизнь человека не мыслится без постоянного обмена с окружающими людьми информацией. Именно поэтому в истории существует копилка знаменитых цитат и высказываний. Человеческое слово необычайно сильно - риторы, полководцы, государственные деятели умели воодушевить речью целые народы. Далее мы поговорим о том, разберем, какое оно бывает, выясним, достижению каких целей служит, научимся выстраивать изречения, приятные всем и каждому, а также вспомним некоторые знаменитые высказывания.

Научное определение

С точки зрения науки высказывание - это основной (неопределяемый) термин из области математической логики. В более ходовом понимании высказывание представляет собой любое повествовательное предложение, которое утверждает что-либо о чем-либо. Причем с точки зрения конкретных обстоятельств и временных рамок можно с точностью заявить, является оно истинным или ложным в существующих условиях. Каждое подобное логическое высказывание можно отнести, таким образом, к одной из 2-х групп:

1. Истина.
2. Ложь.

К истинным высказываниям, например, принадлежат следующие:

• Если девушка окончила школу, она получает аттестат о среднем образовании.
• Лондон - столица Великобритании.
• Карась - рыба.

Ложные высказывания, например, такие:

• Собака - не животное.
• Санкт-Петербург построен на Москве-реке.
• Число 15 делится на 3 и 6.

Что не относится к высказываниям?

Необходимо сделать оговорку на то, что в области точных наук далеко не все предложения относятся к категории высказываний. Становится очевидным, что фраза, не несущая в себе ни истинности, ни ложности, из группы высказываний выпадает, например:

• Да здравствует мир во всём мире!
• Добро пожаловать в новое учебное заведение!
• Необходимо взять с собой сапоги и зонт для прогулки.

Классификация высказываний

Итак, если то, что такое высказывание, выяснено, то классификация этой категории остается всё ещё не определена. Между тем она действительно существует. Высказывания делятся на 2 две группы:

1. Простое, или элементарное, высказывание - это предложение, представляющее собой одно-единственное утверждение.
2. Сложное, или составное, высказывание, то есть такое, которое образовано из элементарных, благодаря использованию грамматических связок «или», «и», «ни», «не», «если… то…», «тогда и только тогда» и др. Примером может послужить истинное предложение: «Если у ребенка есть мотивация, то он хорошо занимается в школе », которое образовано из 2-х элементарных высказываний: «У ребёнка есть мотивация » и «Он хорошо занимается в школе » при помощи связующего элемента «если... то…». Аналогичным образом строятся все подобные конструкции.

Итак, с высказывание именно применительно к области точных наук, теперь всё ясно. Например, в алгебре любое высказывание рассматривается только в аспекте его логического значения, без учета какого бы то ни было житейского содержания. Здесь высказывание может быть или исключительно истинным, или исключительно ложным - третьего не дано. В этом логическое высказывание качественно отличается от о котором будет сказано далее.

В школьной математике (а также подчас и информатике) элементарные высказывания обозначаются латиницы: a, b, c, … x, y, z. Истинное значение суждения традиционно отмечается цифрой «1», а ложное значение - цифрой «0».

Важные понятия для установления истинности или ложности высказывания

К основным терминам, которые так или иначе соприкасаются с областью логических высказываний, относятся:

• "суждение" - некоторое высказывание, которое потенциально является истинным или ложным;
• "утверждение" - суждение, которое требует доказательства или опровержения;
• "рассуждение" - совокупность логичных и взаимосвязанных суждений, фактов, умозаключений и положений, которые могут быть получены благодаря другим суждениям по определенным правилам вынесения вывода;
• "индукция" - способ рассуждения от частного (более мелкого) к общему (более глобальному);
• "дедукция" - наоборот, способ рассуждения от общего к частному (именно дедуктивным методом в преимуществе своем пользовался знаменитый герой рассказов Артура Конан Дойля Шерлок Холмс, который вкупе с базой знаний, наблюдательностью и внимательностью позволял ему находить истину, облекать её в форму логических высказываний, выстраивать правильные цепочки умозаключений и в результате устанавливать личность преступника).

Что такое высказывание в психологии: "Ты"-высказывание

Наука о человеческом сознании также отводит категории высказываний огромную роль. Именно с помощью неё индивид может произвести на окружающих положительное впечатление и создать неконфликтогенный микроклимат в отношениях. Поэтому сегодня психологи стараются популяризировать тему о наличии двух видов высказывания: это «Я»-высказывания и «Ты»-высказывания. Про последний тип любому, кто хочет совершенствоваться в общении, лучше навсегда забыть!

Характерными примерами «Ты»-высказывания являются такие:

• - Ты вечно не прав!
• - Опять ты лезешь со своими рекомендациями!
• - Ты можешь не быть таким неуклюжим?

В них сразу чувствуется открытое недовольство собеседником, обвинение, создание некомфортной для человека ситуации, в которой он вынужден защищаться. В этом случае он не может услышать, понять и принять точку зрения «обвинителя» потому, что изначально поставлен в положение противника и врага.

«Я»-высказывания

Если цель высказывания - это выражение своего мнения, чувств, эмоций, то забывать про поиск подхода к собеседнику тем не менее нельзя никогда. Бросить короткое обвинение на «ты» куда легче, но на положительную реакцию от собеседника в таком случае можно не рассчитывать, ведь кокон ответной эмоциональной защиты не позволит до него достучаться. Поэтому действеннее будет всё же попробовать технику «Я»-высказываний, которая покоится на определенных принципах.

Первым делом необходимо не обвинять собеседника, а выразить собственную эмоциональную реакцию по поводу произошедшего. Хотя другое лицо не знает, о чем пойдет речь далее, интуитивно оно окажется предрасположенным к проблемам товарища и будет готово проявить участие и заботу.

Например, можно сказать:

• Мне грустно.
• Я в негодовании.
• Я растерян.
• Я готова разрыдаться.

• Я опоздала на работу, и босс сделал мне выговор.
• Я ждала тебя и не могла позвонить, так как сеть плохо ловила.
• Я просидел под дождем целый час и весь промок.

Наконец, следует привести пояснение того, почему то или иное действие вызвало определенную реакцию:

• Для меня это мероприятие было крайне важным.
• Я слишком устаю и не справляюсь с навалившимися обязанностями.
• Я приложил много стараний к этому делу и в результате ничего не получил!

На предпоследнем или заключительном (в зависимости от ситуации) этапе нужно выразить пожелание или просьбу. Человек, к которому собеседник обратится после такого подробного описания чувств, должен получить определенные рекомендации и советы для дальнейшего поведения. Примет он их к сведению или нет - его личный выбор, который продемонстрирует реальное отношение:

• Я бы хотел, чтобы ты выходила из дома раньше.
• Предлагаю договориться: мы будем заниматься бытовыми обязанностями через день.

Необязательным, но в некоторых случаях необходимым пунктом является предупреждение о своих намерениях, а именно:

• Боюсь, я больше не смогу одалживать тебе машину на выходные.
• Я буду напоминать тебе о домашнем задании, если ты будешь забывать.

Ошибки в следовании концепции «Я»-высказываний

Для выстраивания успешного диалога и предотвращения скандалов следует исключить из собственной практики общения такие ошибки:

1. Вынесение обвинений. Мало использовать лишь один пункт техники, а затем пуститься в обличение и комментирование собеседника и его действий в форме: «Ты опоздала!», «Ты сломала!», «Ты разбросал вещи!». В этом случае задуманное полностью теряет смысл.
2. Обобщения. От ярлыков и штампов следует избавиться как можно скорее. Речь идет про нелестные стереотипные за рулем, блондинках, мужчинах-холостяках и т. д.
3. Оскорбления.
4. Выражение собственных эмоций в грубой форме ("Я готова тебя убить!", "Я просто в бешенстве!").

Таким образом, «Я»-высказывания предполагают отказ от унижений и упреков для того, чтобы не превращать общение в опасное невидимое оружие.

Знаменитые высказывания философов

Завершение статьи будет связано с высказываниями, которые, в отличие от логических суждений и универсальных психологических приемов, воспринимаются каждым человеком сугубо индивидуально:

• Чего не следует делать, не делай даже в мыслях (Эпиктет).
• Выдать чужой секрет — предательство, выдать свой — глупость (Вольтер).
• Если 50 миллионов человек говорят глупость, это по-прежнему глупость (Анатоль Франс).

Помогают людям лучше понять себя и других, поддерживают в самых разных сферах жизни.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний:

1) Новгород стоит на Волхове.

2) Париж – столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а 2) и 3) – ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась – рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если …,
то …». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать буквами латинского алфавита: a,b,c,…,x,y,z,…; истинное значение – буквой И или цифрой 1, а ложное значение – буквой Л или цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а=1 , если же ложно, то а=0 .

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания исоставные логические высказывания.

Составное логическое высказывание - это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Иванов - футболист» - элементарные логические высказывания. «Иванов - футболист и шахматист» - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

46. Элементы алгебры логики

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным.

Высказывания:

– “Сейчас идет снег” – это утверждение может быть истинным или ложным;

– “Вашингтон – столица США” – истинное утверждение;

– “Частное от деления 10 на 2 равно 3” – ложное утверждение.

В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с ит. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR),операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения – символы или Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы законы:

1. Сочетательный:

47. (a + b) + с = а + (b + с ),

48. (а b) с = а (b с ).

2. Переместительный:

49. (а + b) = (b + a),

50. (а b) = (b а).

3. Распределительный:

51. а (b + с) = а b + (a с),

52. (а + b) с = а с + b с.

Справедливы соотношения, в частности:

53. а + а = аа + b = b, если а ≤ b,

54. а а = аа b = а , если a ≤ b,

a + a b = aa b = b, если а ≥ b ,

а + b = а, если а ≥ b.

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом – 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция – отрицания (операция НЕ (NOT) , инверсия), обозначаемая чертой над элементом.

По определению

Функция в алгебре логики – выражение, содержащее элементы алгебры логики а, b, с и др., связанные операциями, определенными в этой алгебре. Примеры логических функций:

и т. д. Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.

Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.

Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".

Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3

Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.

Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания A и B .

1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".

Таблица истинности для конъюнкции:

A	B	A ∧ B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .

Таблица истинности для дизъюнкции:

A	B	A ∨ B
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".

Таблица истинности для следования (импликации):

A	B	A → B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

A	~ A
Л	И
И	Л

5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Связка	Обозначение	Название операции
не		отрицание
и		конъюнкция
или		дизъюнкция
если..., то...		импликация
тогда и только тогда		эквивалентность

Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15 ;

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;

4) Не("Сосна" = "Дуб") ;

5) (Не(15 20) ;

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";

2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";

Пример 5. Определите логическое значение выражения

(p → q ) ↔ (r → s ) ,

p = "278 > 5" ,

q = "Яблоко = Апельсин" ,

p = "0 = 9" ,

s = "Шапка покрывает голову" .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

~, ∧, ∨, →, ↔,

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

6) .

1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";

2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";

3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";

4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";

5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";

6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".

Пример 7. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".

p	q	r					f
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )

B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))

(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	И

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.

Тема 2. Высказывания. Логические операции над ними

Простое высказывание – это утверждение (повествовательное предложение), в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно (но не то и другое вместе).

Всякое высказывание является предложением и может быть выражено словами, однако далеко не каждое предложение является высказыванием в математическом смысле.

Пример. Не являются высказываниями предложения:

1) число 0,00000001 очень мало;

2) существует ли число, квадрат которого равен 2?

4) .

Первое их этих предложений не является высказыванием потому, что не имеет точного смысла и мы не можем сказать, истинно оно или ложно; второе предложение содержит вопрос; третье и четвертое предложения содержат букву х. При одних значениях х получается истинное высказывание, при других ложное.

Предложение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).

Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).

Неопределенные высказывания

Будем обозначать через N множество всех натуральных чисел. Через х обозначим произвольный элемент множества N. Рассмотрим следующие предложения:

,

.

Предложения A(x), B(x), C(x), D(x) высказываниями не являются, т.к. об истинности, например, A(x) мы ничего не можем сказать, пока нам не известно число х. Однако, подставляя в A(x) вместо х различные натуральные числа, мы будем получать высказывания о натуральных числах – иногда истинные, иногда ложные. Например:

Истинное высказывание;

Ложное высказывание.

Предложения A(x), B(x), C(x), D(x), содержащие переменную х , называют неопределенными высказываниями (предикатами). Если вместо х подставить число, то мы получим обычное высказывание.

Неопределенное высказывание может быть задано на любом множестве. Оно представляет собой высказывание о каком-то элементе х рассматриваемого множества.

Часто приходится рассматривать неопределенные высказывания, в которые входит не одно, а два или большее число переменных.

Пример. ;

Мы ничего не можем сказать об истинности или ложности этих утверждений, т.к. нам неизвестны х и y. Но если точно указано, чему равны х и y , каждое из сформулированных утверждений превращается в высказывание – для одних пар х и y истинное, для других – ложное. Вот примеры высказываний, полученных из указанных предложений при конкретных значениях х и y:

- истинное высказывание;

- ложное высказывание;

- ложное высказывание;

- ложное высказывание;

- истинное высказывание.

Логические операции над высказываниями

Высказывания обозначают латинскими буквами A, B, C , …, их значения истина и ложь соответственно, через «И» и «Л». Сложные высказывания получают из простых при помощи логических операций, к которым относятся отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (эквиваленция ) .

1. Если А – высказывание, то отрицание высказывания А определяется как такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания А обозначается (или ØА ) и читается «не А» .

Истинность-ложность операции отрицания выражает истинностная таблица 1.1.

Т а б л и ц а 1.1

А
И	Л
Л	И

Пример. 1) ; .

2) ; .

3) ; .

4) ; .

Каково бы ни было высказывание А, из двух высказываний А, А одно является истинным, а другое – ложным.

Закон отрицания отрицания: Двойное отрицание А истинно в том и только в том случае, если истинно само высказывание А (т.е. если А истинно, то и А истинно, а если А ложно, то и А ложно).

2. Конъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания истинны.

Если А , В - высказывания, то их конъюнкция обозначается A Ù B (или А & B ) и читается «А и В ».

Конъюнкции соответствует истинностная таблица 1.2.

Т а б л и ц а 1.2

А	В	А Ù В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Пример: Высказывание - истинно, высказывание - истинно, поэтому истинна и их конъюнкция .

3. Дизъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания ложны.

Если А , В - два высказывания, то их дизъюнкция обозначается А Ú В и читается «А или В ». Союз «или» здесь употребляется в соединительном, а не в разделительном смысле, т. е. для истинности высказывания А Ú В допускается также случай истинности обоих высказываний А , В .

Операции дизъюнкции соответствует истинностная таблица 1.3.

Т а б л и ц а 1.3

А	В	А Ú В
И	И	И
Л	И	И
И	Л	И
Л	Л	Л

Пример: Высказывание - истинно, высказывание - ложно. Тогда высказывание - истинно.

4. Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно. Импликация двух высказываний А , В обозначается А Þ В и читается «если А , то В ». Высказывание А называется посылкой импликации , а В - заключением .

Импликации соответствует истинностная таблица 1.4.

Т а б л и ц а 1.4

А	В	А Þ В
И	И	И
Л	И	И
И	Л	Л
Л	Л	И

5. Эквивалентность двух высказываний А , В определяется как высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания А , В оба истинны или оба ложны. Обозначается А Û В и читается «А тогда и только тогда, когда В » («если А , то В , и, если В , то А », «А есть необходимое и достаточное условие для В »). Значения эквивалентности определены в истинностной таблице 1.5.

Т а б л и ц а 1.5

А	В	А Û В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Пример: Рассмотрим два высказывания, определенных на множестве натуральных чисел:

Тогда признак делимости на 3 можно записать как (число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на три).

Если теорема сформулирована в виде A Þ B , то она называется признаком или достаточным условием дляB , где A, B – некоторые высказывания.

Теорема типа В Þ А называется обратной для теоремы A Þ B .

Если теорема имеет вид A Û B , то она называется критерием или необходимым и достаточным условиями для B .

Теорема такого типа объединяет прямую и обратную теоремы.

Теорема типа называется противоположной к обратной теореме .

Высказывание A Þ B истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание . На этом факте основан метод доказательства от противного .

Пример: Пусть высказывание , а . Тогда .

Данную теорему принято выражать в следующем виде:

А является достаточным условием для В.

В является необходимым условием для А.

Необходимое условие можно сформулировать следующим образом: для делимости числа х на 4 необходимо, чтобы его последняя цифра была четной.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25

---