СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Постановка задачи.
II. Совместность однородных и неоднородных систем.
III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.
IV. Матричный метод решения систем уравнений.
V. Метод Гаусса.
I. Постановка задачи.
Систему уравнений вида
называют системой
m
линейных уравнений с n
неизвестными
.
Коэффициенты уравнений этой системы
записывают в виде матрицы
которую называют матрицей системы (1).
Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных членов {B }:
.
Если столбец {B }={0 }, то система уравнений называется однородной . В противном случае, когда {B }≠{0 } – система неоднородна .
Система линейных уравнений (1) может быть записана в матричном виде
[A ]{x }={B }. (2)
Здесь
- столбец неизвестных.
Решить систему
уравнений (1) - значит найти совокупность
n
чисел
такую, что при подстановке в систему
(1) вместо неизвестных
каждое уравнение системы обращается в
тождество. Числа
называются решением системы уравнений.
Система линейных уравнений может иметь одно решение
,
может иметь бесчисленное множество решений
или не иметь решений совсем
.
Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными . Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называетсясовместной . Система уравнений называетсяопределенной , если она имеет единственное решение, инеопределенной , если имеет бесчисленное множество решений.
II. Совместность однородных и неоднородных систем.
Условие совместности
системы линейных уравнений (1) формулируется
в теореме
Кронекера-Капелли
:
система линейных уравнений имеет хотя
бы одно решение в том и только в том
случае, когда ранг матрицы системы равен
рангу расширенной матрицы:
.
Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов:
.
Если RgA
Однородные системы
линейных уравнений в соответствии с
теоремой Кронекера-Капелли всегда
совместны. Рассмотрим случай однородной
системы, в которой число уравнений равно
числу неизвестных, то есть т=п
.
Если определитель матрицы такой системы
не равен нулю, т.е.
,
однородная система имеет единственное
решение, которое является тривиальным
(нулевым). Однородные системы имеют
бесчисленное множество решений, если
среди уравнений системы есть линейно
зависимые, т.е.
.
Пример. Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
и исследуем вопрос о количестве ее решений. Каждое из уравнений можно считать уравнением плоскости, проходящей через начало координат (D =0 ). Система уравнений имеет единственное решение, когда все три плоскости пересекаются в одной точке. При этом их нормальные векторы некомпланарны, и, следовательно, выполняется условие
.
Решение системы при этом x =0, y =0, z =0 .
Если хотя бы две из трех плоскостей, например, первая и вторая, параллельны, т.е. , то определитель матрицы системы равен нулю, а система имеет бесчисленное множество решений. Причем решениями будут координатыx , y , z всех точек, лежащих на прямой
Если же все три плоскости совпадают, то система уравнений сведется к одному уравнению
,
а решением будут координаты всех точек, лежащих в этой плоскости.
При исследовании неоднородных систем линейных уравнений вопрос о совместности решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Если же число уравнений в такой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В противном случае система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.
Пример . Исследуем неоднородную систему двух уравнений с двумя неизвестными
.
Уравнения
системы можно рассматривать как уравнения
двух прямых на плоскости. Система
несовместна, когда прямые параллельны,
т.е.
,
.
В этом случае ранг матрицы системы равен
1:
RgA
=1
, т.к.
,
а ранг расширенной
матрицы
равен двум, т. к. для нее в качестве
базисного минора может быть выбран
минор второго порядка, содержащий третий
столбец.
В рассматриваемом
случае RgA
Если прямые
совпадают, т.е.
,
то система уравнений имеет бесчисленное
множество решений: координаты точек на
прямой
.
В этом случаеRgA
=
RgA
*
=1.
Система имеет
единственное решение, когда прямые не
параллельны, т.е.
.
Решением этой системы являются координаты
точки пересечения прямых
III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.
Рассмотрим простейший случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных, т.е. m = n . Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:
(3)
Здесь
- определитель матрицы системы,
- определитель
матрицы, получаемой из [A
]
заменой i
-ого
столбца на столбец свободных
членов:
.
Пример . Решить систему уравнений методом Крамера.
Решение :
1) найдем определитель системы
2) найдем вспомогательные определители
3) найдем решение системы по правилу Крамера:
Результат решения может быть проверен подстановкой в систему уравнений
Получены верные тождества.
IV. Матричный метод решения систем уравнений.
Запишем систему линейных уравнений в матричном виде (2)
[A ]{x }={B }
и умножим правую и левую части соотношения (2) слева на матрицу [A -1 ], обратную матрице системы:
[A -1 ][A ]{x }=[A -1 ]{B }. (2)
По определению обратной матрицы произведение [A -1 ][A ]=[E ], а по свойствам единичной матрицы [E ]{x }={x }. Тогда из соотношения (2") получаем
{x }=[A -1 ]{B }. (4)
Соотношение (4) лежит в основе матричного метода решения систем линейных уравнений: необходимо найти матрицу, обратную матрице системы, и умножить на нее слева вектор-столбец правых частей системы.
Пример . Решим матричным методом систему уравнений, рассмотренную в предыдущем примере.
Матрица системы
ее определитель detA
==183
.
Столбец
правых частей
.
Чтобы найти матрицу [A -1 ], найдем матрицу, присоединенную к [A ]:
или
В формулу для
вычисления обратной матрицы входит
,
тогда
Теперь можно найти решение системы
Тогда окончательно
получаем
.
V. Метод Гаусса.
При большом числе неизвестных решение системы уравнений методом Крамера или матричным методом связано с вычислением определителей высокого порядка или обращением матриц больших размеров. Эти процедуры весьма трудоемки даже для современных ЭВМ. Поэтому для решения систем большого числа уравнений чаще пользуются методом Гаусса.
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем элементарных преобразований расширенной матрицы системы. К элементарным преобразованиям матрицы относят перестановку строк, сложение строк, умножение строк на числа, отличные от нуля. В результате преобразований удается матрицу системы свести к верхней треугольной, на главной диагонали которой стоят единицы, а ниже главной диагонали - нули. В этом заключается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода состоит в непосредственном определении неизвестных, начиная с последнего.
Проиллюстрируем метод Гаусса на примере решения системы уравнений
На первом шаге
прямого хода добиваются того, чтобы
коэффициент
преобразованной системы стал равен
1
,
а коэффициенты
и
обратились в ноль. Для этого первое
уравнение умножим на1/10
,
второе уравнение умножим на 10
и сложим с первым, третье уравнение
умножим на -10/2
и сложим с первым. После этих преобразований
получим
На втором шаге
добиваемся того, чтобы после преобразований
коэффициент
стал равным1
,
а коэффициент
.
Для этого второе уравнение разделим на
42
,
а третье уравнение умножим на -42/27
и сложим со
вторым. Получим систему уравнений
На третьем шаге
должны получить коэффициент
.
Для этого третье уравнение разделим на(37 - 84/27)
;
получим
На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается, т.к. матрица системы сведена к верхней треугольной:
Осуществляя обратный ход, найдем неизвестные
На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики.
Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все
переменные входят в первой степени
: без всяких причудливых вещей вроде 
и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.
В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:
Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:
Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения
Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.
Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::
– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»)
;
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
;
– Решение системы по формулам Крамера
;
– Решение системы с помощью обратной матрицы
;
– Решение системы методом Гаусса
.
С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.
Решение системы линейных уравнений методом подстановки
Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса».
Пример 1
Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.
Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Кроме того, система может быть несовместной (не иметь решений) .Не тушуйтесь, это общее определение =) У нас же будет всего лишь одно значение «икс» и одно значение «игрек», которые удовлетворяют каждому уравнению с-мы.
Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой . Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действия-действия.
Решаем
: из первого уравнения выразим:
Полученное выражение подставляем во второе уравнение:
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :
Далее вспоминаем про то, от чего плясали:
Значение нам уже известно, осталось найти:
Ответ :
После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку (устно, на черновике либо калькуляторе) . Благо, делается это легко и быстро.
1) Подставляем найденный ответ в первое уравнение :
– получено верное равенство.
2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение :
– получено верное равенство.
Или, если говорить проще, «всё сошлось»
Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из четырех способов – выразить из второго уравнения:
Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.
Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше вниманиена то, КАК я записал выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: 
.
Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях .
Именно , а не или !
Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий.
Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:
Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом . Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.
Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лох снизит оценку за использование «школьного метода».
Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными
Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции . Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.
При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.
Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:
Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.
Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:
Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить или .
Далее, выражение для подставляем во второе и третье уравнения системы:
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Третье уравнение делим на 2:
Из второго уравнения выразим и подставим в третьей уравнение:
Практически всё готово, из третьего уравнения находим:
Из второго уравнения: 
Из первого уравнения:
Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:
1)
2)
3)
Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно.
Пример 3
Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.
Пример 4
Решить систему линейных уравнений:
Я взял ту же систему, что и первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных
.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Правила ввода уравнений
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки
. При этом уравнения сначала упрощаются.
Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0
с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только
одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) - решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали
противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений,
получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с
переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач§1. Системы линейных уравнений.
Система вида
называется системой m линейных уравнений сn неизвестными.
Здесь
- неизвестные,
- коэффициенты при неизвестных,
- свободные члены уравнений.
Если все свободные члены уравнений
равны нулю, система называется однородной
.Решением
системы называется
совокупность чисел
,
при подстановке которых в систему вместо
неизвестных все уравнения обращаются
в тождества. Система называетсясовместной
, если она имеет хотя бы
одно решение. Совместная система, имеющая
единственное решение, называетсяопределенной
. Две системы называютсяэквивалентными
, если множества их
решений совпадают.
Система (1) может быть представлена в матричной форме с помощью уравнения
(2)
.
§2. Совместность систем линейных уравнений.
Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу
Теорема Кронекера - Капелли . Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:
.
§3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений сn неизвестными:
(3)
Теорема Крамера
.Если главный
определитель системы (3)
,
то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
т.е. 
,
где
- определитель, получаемый из определителя
заменой
-го
столбца на столбец свободных членов.
Если
,
а хотя бы один из
≠0,
то система решений не имеет.
Если
,
то система имеет бесконечно много
решений.
Систему (3) можно решить, используя ее
матричную форму записи (2). Если ранг
матрицы А
равенn
,
т.е.
,
то матрицаА
имеет обратную
.
Умножив матричное уравнение
на матрицу
слева, получим:
.
Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Решение.
Матрица
невырожденная, так как
,
значит, существует обратная матрица.
Вычислим обратную матрицу:
.
,
Задание . Решить систему методом Крамера.
§4. Решение произвольных систем линейных уравнений.
Пусть дана неоднородная система линейных уравнений вида (1).
Предположим, что система совместна,
т.е. выполнено условие теоремы
Кронекера-Капелли:
.
Если ранг матрицы
(числу неизвестных), то система имеет
единственное решение. Если
,
то система имеет бесконечно много
решений. Поясним.
Пусть ранг матрицы r
(A
)=
r
<
n
.
Поскольку
,
то существует некоторый ненулевой минор
порядкаr
. Назовем его
базисным минором. Неизвестные, коэффициенты
которых образуют базисный минор, назовем
базисными переменными. Остальные
неизвестные назовем свободными
переменными. Переставим уравнения и
перенумеруем переменные так, чтобы этот
минор располагался в левом верхнем углу
матрицы системы:
.
Первые r строк линейно независимы, остальные выражаются через них. Следовательно, эти строки (уравнения) можно отбросить. Получим:
Дадим свободным переменным произвольные числовые значения: . Оставим в левой части только базисные переменные, свободные перенесем в правую часть.
Получили систему r линейных уравнений сr неизвестными, определитель которой отличен от 0. Она имеет единственное решение.
Эта система называется общим решением
системы линейных уравнений (1). Иначе:
выражение базисных переменных через
свободные называется общим решением
системы. Из него можно получить бесконечное
множествочастных решений
, придавая
свободным переменным произвольные
значения. Частное решение, полученное
из общего при нулевых значениях свободных
переменных называетсябазисным
решением
. Число различных базисных
решений не превосходит
.
Базисное решение с неотрицательными
компонентами называетсяопорным
решением системы.
Пример
.
,r
=2.
Переменные
- базисные,
- свободные.
Сложим уравнения; выразим
через
:
- общее решение.
- частное решение при
.
- базисное решение, опорное.
§5. Метод Гаусса.
Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному (или треугольному) виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.
Элементарными преобразованиями системы являются:
Умножение уравнения на число, отличное от нуля;
Сложение уравнения, умноженного на любое число, с другим уравнением;
Перестановка уравнений;
Отбрасывание уравнения 0 = 0.
Элементарные преобразования можно совершать не над уравнениями, а над расширенными матрицами получающихся эквивалентных систем.
Пример .
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:
.
Выполняя элементарные преобразования, приведем левую часть матрицы к единичному виду: на главной диагонали будем создавать единицы, а вне ее - нули.
Замечание
. Если при выполнении
элементарных преобразований получено
уравнение вида 0= к
(где к
0),
то система несовместна.
Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы .
Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.
В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению преобразований Жордана:
1. Выбирают переменную
,
которая станет базисной. Соответствующий
столбец называют ключевым. Выбирают
уравнение, в котором эта переменная
останется, будучи исключенной из других
уравнений. Соответствующую строку
таблицы называют ключевой. Коэффициент
,
стоящий на пересечении ключевой строки
и ключевого столбца, называют ключевым.
2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.
3. Ключевой столбец заполняют нулями.
4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника. Составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали, полученную разность делят на ключевой элемент.
Пример . Найти общее решение и базисное решение системы уравнений:
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
Общее решение системы:
Базисное решение:
.
Перейти от одного базиса системы к другому позволяет преобразование однократного замещения: вместо одной из основных переменных в базис вводят одну из свободных переменных. Для этого в столбце свободной переменной выбирают ключевой элемент и выполняют преобразования по указанному выше алгоритму.
§6. Нахождение опорных решений
Опорным решением системы линейных уравнений называется базисное решение, не содержащее отрицательных компонент.
Опорные решения системы находят методом Гаусса при выполнении следующих условий.
1. В исходной системе все свободные члены
должны быть неотрицательны:
.
2. Ключевой элемент выбирают среди положительных коэффициентов.
3. Если при переменной, вводимой в базис, имеется несколько положительных коэффициентов, то в качестве ключевой строки берется та, в которой отношение свободного члена к положительному коэффициенту будет наименьшим.
Замечание 1
. Если в процессе исключения
неизвестных появится уравнение, в
котором все коэффициенты неположительны,
а свободный член
,
то система не имеет неотрицательных
решений.
Замечание 2 . Если в столбцах коэффициентов при свободных переменных нет ни одного положительного элемента, то переход к другому опорному решению невозможен.
Пример.
|
|
|
Решение
выполняем с помощью калькулятора . Выпишем расширенную и основную матрицы:
Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x 1 в правую часть уравнений.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.
Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.
Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.
Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3 .
Минор 
является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 2 , x 3 , x 4 , значит, неизвестные x 2 , x 3 , x 4 – зависимые, а x 1 , x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид
Методом исключения неизвестных находим:
, ,
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 2 , x 3 , x 4 через свободные x 1 и x 5 , то есть нашли общее решение:
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x 1 = x 5 = 0, тогда x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) положим x 1 = 1, x 5 = -1, тогда x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.
Пример 2
. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение
. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Пример 3
. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение
. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r B > r A .
Задание
. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления .
Решение
Пример
. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса ; 2) методом Крамера . (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Ответ:
2,-1,3.
Пример
. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:
x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Задание
. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение.
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной .
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 ,x 3 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 ,x 3 – зависимые (базисные), а x 4 ,x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение :
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неопределенной , т.к. имеет более одного решения.
Задание
. Решить систему уравнений.
Ответ
:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
