При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:
- Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
- Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,
Решение.
1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В прямоугольном треугольнике DНС Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В = Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6. 2. К треугольнику АОD применим теорему синусов. АО/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф. 1. Посчитаем двумя разными S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 . ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Составим систему: {d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым. Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24. Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24. Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями. АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD. Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имеем систему Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примечание:
В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей. Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу. Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 . 2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5. 3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу? сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали. Первым делом проведем диагональ \(AC \)
. Получаются два треугольника: \(ABC \)
и \(ADC \)
. Так как \(ABCD \)
- параллелограмм, то справедливо следующее: \(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \)
как лежащие накрест. \(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \)
как лежащие накрест. Следовательно, (по второму признаку: и \(AC \)
- общая). И, значит, \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
, то \(AB = CD \)
и \(AD = BC \)
. Согласно доказательству свойства 1
мы знаем, что \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \)
. Таким образом сумма противоположных углов равна: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \)
. Учитывая, что \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
получаем \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
. По свойству 1
мы знаем, что противоположные стороны тождественны: \(AB = CD \)
. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы. Таким образом видно, что \(\triangle AOB = \triangle COD \)
по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \(BO = OD \)
(напротив углов \(\angle 2 \)
и \(\angle 1 \)
) и \(AO = OC \)
(напротив углов \(\angle 3 \)
и \(\angle 4 \)
соответственно). Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры. Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?»
. То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм. \(AB = CD \)
; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. Рассмотрим подробнее. Почему \(AD || BC \)
? \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
по свойству 1
: \(AB = CD \)
, \(\angle 1 = \angle 2 \)
как накрест лежащие при параллельных \(AB \)
и \(CD \)
и секущей \(AC \)
. Но если \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
, то \(\angle 3 = \angle 4 \)
(лежат напротив \(AD || BC \)
(\(\angle 3 \)
и \(\angle 4 \)
- накрест лежащие тоже равны). Первый признак верен. \(AB = CD \)
, \(AD = BC \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ \(AC \)
. По свойству 1
\(\triangle ABC = \triangle ACD \)
. Из этого следует, что: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \)
и \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \)
, то есть \(ABCD \)
- параллелограмм. Второй признак верен. \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. \(2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} \)
(поскольку \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
по условию). Получается, \(\alpha + \beta = 180^{\circ} \)
. Но \(\alpha \)
и \(\beta \)
являются внутренними односторонними при секущей \(AB \)
. «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
У параллелограмма противолежащие стороны равны. Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O. У параллелограмма противолежащие углы равны. Доказательство. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO. В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё. Всё ли? Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут. О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие. Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля. Над уроком работали
Кузнецов А. В. Потурнак С.А. Евгений Петров Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме
, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог,
Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования
открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ. Это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Свойство 1
. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Доказательство
. По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона). Теорема доказана
. Свойство 2
. В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. Доказательство
. Теорема доказана
. Свойство 3.
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Доказательство
. Теорема доказана
. Свойство 4
. Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. - вершину - два равнобедренных?-ка). Доказательство
. Теорема доказана
. Свойство 5
. В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам. Доказательство
. Теорема доказана
. Свойство 6
. Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма. Доказательство
. Теорема доказана
. Свойство 7
. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Доказательство
. Теорема доказана
. Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.
1) Построить произвольный луч DE. 2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же 3) F и G - точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H - точка пересечения окружности с построенным лучом Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG. 5) I - точка пересечения окружностей построенного луча. 6) Провести прямую через вершину и I. IDH - требуемый угол. Свойство 1
. Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Доказательство
. Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.
(
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
способами его площадь.
{d 1 + d 2 = 140.
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны.
2. Противоположные углы тождественны.
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Признаки параллелограмма
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
Тема урока
Цели урока
Задачи урока
План урока
Введение
Свойство противолежащих сторон параллелограмма
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана. Свойство противолежащих углов параллелограмма
Пусть ABCD – данный параллелограмм . И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана. Свойство диагоналей параллелограмма
По предыдущей теореме AB 1 CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB 1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC 1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С 1 . параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.Вопросы
Список использованных источников
Аналогично,
с центром в начале построенного луча.
)