Урок и презентация на тему: "Квадратные неравенства, примеры решений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Образовательный комплекс 1С: "Геометрия, 9 класс"
Ребята, мы уже умеем решать квадратные уравнения. Теперь давайте научимся решать и квадратные неравенства.
Квадратным неравенством
называется неравенство вот такого вида:
$ax^2+bx+c>0$.
Знак неравенства может стоять любой, коэффициенты а, b, c – любые числа ($а≠0$).
Все правила, которые мы определили для линейных неравенств, работают и тут. Эти правила повторите самостоятельно!
Введем еще одно важное правило:
Если у трехчлена $ax^2+bx+c$ отрицательный дискриминант, то если подставить любое значение х, знак трехчлена будет такой же, как и знак у коэффициента а.
Примеры решения квадратного неравенства
можно решать путем построения графиков или построения интервалов. Давайте посмотрим примеры решений неравенств.Примеры.
1. Решить неравенство: $x^2-2x-8
Решение:
Найдем корни уравнения $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ и $x_2=-2$.
Построим график квадратного уравнения. Ось абсцисс пересекается в точках 4 и -2.
2. Решить неравенство: $5x-6 Решение: Построим график квадратного уравнения, ось абсцисс пересекается в точках 2 и 3. 3. Решить неравенство: $2^2+2x+1≥0$. Решение: 4. Решить неравенство: $x^2+x-2 Квадратное неравенство – «ОТ и ДО».
В этой статье мы с вами рассмотрим решение квадратных неравенств что называется до тонкостей. Изучать материал статьи рекомендую внимательно ничего не пропуская. Осилить статью сразу не получится, рекомендую сделать это за несколько подходов, информации много.
Содержание:
Вступление. Важно!
Вступление. Важно!
Квадратное неравенство – это неравенство вида:
Если взять квадратное уравнение и заменить знак равенства на любой из указанных выше, то получится квадратное неравенство. Решить неравенство - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х данное неравенство будет верно. Примеры:
10
x
2
– 6
x
+12 ≤ 0
2
x
2
+ 5
x
–500 > 0
– 15
x
2
– 2
x
+13 > 0
8
x
2
– 15
x
+45≠ 0
Квадратное неравенство может быть задано в неявном виде, например:
10
x
2
– 6
x
+14
x
2
–5
x
+2≤ 56
2
x
2
> 36
8
x
2
<–15
x
2
– 2
x
+13
0> – 15
x
2
– 2
x
+13
В этом случае необходимо выполнить алгебраические преобразования и привести его к стандартному виду (1).
*Коэффициенты могут быть и дробными и иррациональными, но в школьной программе такие примеры редкость, а в заданиях ЕГЭ не встречаются вообще. Но вы не пугайтесь, если, например, встретите:
Это тоже квадратное неравенство.
Сначала рассмотрим простой алгоритм решения, не требующий понимания того, что такое квадратичная функция и как её график выглядит на координатной плоскости относительно осей координат. Если вы способны запоминать информацию крепко и надолго, при этом регулярно подкрепляете её практикой, то алгоритм вам поможет. Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство «наразок», то алгоритм вам в помощь. Следуя ему вы без труда осуществите решение.
Если же вы учитесь в школе, то настоятельно рекомендую вам начать изучение статьи со второй части, где рассказывается весь смысл решения (смотрите ниже с пункта – ). Если будет понимание сути, то не учить, не запоминать указанный алгоритм будет не нужно, вы без труда быстро решите любое квадратное неравенство.
Конечно, следовало бы сразу начать разъяснение именно с графика квадратичной функции и oбъяснения самого смысла, но решил «построить» статью именно так.
Ещё один теоретический момент! Посмотрите формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:
где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ax 2
+
bx
+c=0
*Для того, чтобы решить квадратное неравенство, необходимо будет квадратный трёхчлен разложить на множители.
Представленный ниже алгоритм называют ещё методом интервалов. Он подходит для решения неравенств вида f
(x
)>0,
f
(x
)<0
, f
(x
)≥0 и
f
(x
)≤0
. Обратите внимание, что множителей может более двух, например:
(х–10)(х+5)(х–1)(х+104)(х+6)(х–1)<0
Алгоритм решения. Метод интервалов. Примеры.
Дано неравенство ax
2
+
bx
+ с > 0 (знак любой).
1. Записываем квадратное уравнение ax
2
+
bx
+ с = 0
и решаем его. Получаем х 1 и х 2
– корни квадратного уравнения.
2. Подставляем в формулу (2) коэффициент a
и корни. :
a (x
–
x
1
)(x
–
x 2)>0
3. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы):
4. Определяем «знаки» на интервалах (+ или –) путём подстановки произвольного значения «х» из каждого полученного интервала в выражение:
a (x
–
x
1
)(x
–
x 2)
и отмечаем их.
5. Остаётся лишь выписать интересующие нас интервалы, они отмечены:
— знаком «+», если в неравенстве стояло «>0» или «≥0».
— знаком «–», если в неравенстве было «<0» или «≤0».
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!!!
Сами знаки в неравенстве могут быть:
строгими – это «>», «<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Как это влияет на результат решения?
При строгих знаках неравенства границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде (x
1
;
x
2
) – скобки круглые.
При нестрогих знаках неравенства границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде [x
1
;
x
2
] – скобки квадратные.
*Это касается не только квадратных неравенств. Квадратная скобка означает, что сама граница интервала включена в решение.
На примерах вы это увидите. Давайте разберём несколько, чтобы снять все вопросы по этому поводу. В теории алгоритм может показаться несколько сложным, на самом деле всё просто.
ПРИМЕР 1: Решить x
2
– 60
x
+500 ≤ 0
Решаем квадратное уравнение x
2
–60
x
+500=0
D
=
b
2
–4
ac
= (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Находим корни:
Подставляем коэффициент a
x
2
–60
x
+500 = (х–50)(х–10)
Записываем неравенство в виде (х–50)(х–10) ≤ 0
Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Покажем их на числовой прямой:
Мы получили три интервала (–∞;10), (10;50) и (50;+∞).
Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–50)(х–10) произвольных значений их каждого полученного интервала и смотрим соответствие полученного «знака» знаку в неравенстве (х–50)(х–10) ≤ 0
:
при х=2 (х–50)(х–10) =
384 > 0 неверно
при х=20 (х–50)(х–10) =
–300 < 0 верно
при х=60 (х–50)(х–10) = 500 > 0 неверно
Решением будет являться интервал .
При всех значениях х из этого интервала неравенство будет верным.
*Обратите внимание, что мы поставили квадратные скобки.
При х = 10 и х = 50 неравенство также будет верно, то есть границы входят в решение.
Ответ: x∊
Ещё раз:
— Границы интервала ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак ≤ или ≥ (нестрогое неравенство). При этом на эскизе принято полученные корни отображать ЗАШТРИШОВАННЫМ кружком.
— Границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак < или > (строгое неравенство). При этом на эскизе принято корень отображать НЕЗАШТРИХОВАННЫМ кружком.
ПРИМЕР 2: Решить x
2
+ 4
x
–21 > 0
Решаем квадратное уравнение x
2
+ 4
x
–21 = 0
D
=
b
2
–4
ac
= 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Находим корни:
Подставляем коэффициент a
и корни в формулу (2), получаем:
x
2
+ 4
x
–21 = (х–3)(х+7)
Записываем неравенство в виде (х–3)(х+7) > 0.
Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим их на числовой прямой:
*Неравенство нестрогое, поэтому обозначения корней НЕзаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–7), (–7;3) и (3;+∞).
Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–3)(х+7) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству (х–3)(х+7)> 0
:
при х= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 верно
при х= 0 (0–3)(0 +7) = –21 < 0 неверно
при х=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 верно
Решением будут являться два интервала (–∞;–7) и (3;+∞). При всех значениях х из этих интервалов неравенство будет верным.
*Обратите внимание, что мы поставили круглые скобки. При х = 3 и х = –7 неравенство будет неверным – границы не входят в решение.
Ответ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)
ПРИМЕР 3: Решить –
x
2
–9
x
–20 > 0
Решаем квадратное уравнение –
x
2
–9
x
–20 = 0.
a
= –1
b
= –9
c
= –20
D
=
b
2
–4
ac
= (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Находим корни:
Подставляем коэффициент a
и корни в формулу (2), получаем:
–
x
2
–9
x
–20 =–(х–(–5))(х–(–4))= –(х+5)(х+4)
Записываем неравенство в виде –(х+5)(х+4) > 0.
Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим на числовой прямой:
*Неравенство строгое, поэтому обозначения корней незаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–5), (–5; –4) и (–4;+∞).
Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение –(х+5)(х+4)
произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству –(х+5)(х+4)>0
:
при х= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30 < 0 неверно
при х= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 верно
при х= 0 – (0+5)(0 +4) = –20 < 0 неверно
*Обратите внимание, что границы не входят в решение. При х = –5 и х = –4 неравенство будет неверным.
ЗАМЕЧАНИЕ!
При решении квадратного уравнения у нас может получится один корень или корней не будет вовсе, тогда при использовании данного метода вслепую могут возникнуть затруднения в определении решения.
Небольшой итог! Метод хорош и использовать его удобно, особенно если вы знакомы с квадратичной функцией и знаете свойства её графика. Если нет, то прошу ознакомиться, приступим к следующему разделу.
Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!
Квадратичная это функция вида:
Её графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх, либо вниз:
График может быть расположен следующим образом: может пересекать ось х в двух точках, может касаться её в одной точке (вершиной), может не пересекать. Об этом подробнее в дальнейшем.
Теперь рассмотрим этот подход на примере. Весь процесс решения состоит из трёх этапов. Решим неравенство x
2
+2
x
–8 >0.
Первый этап
Решаем уравнение x
2
+2
x
–8=0.
D
=
b
2
–4
ac
= 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Находим корни:
Получили х 1
=2 и х 2
= – 4.
Второй этап
Строим параболу у=
x
2
+2
x
–8
по точкам:
Точки – 4 и 2 это точки пересечения параболы и оси ох. Всё просто! Что сделали? Мы решили квадратное уравнение x
2
+2
x
–8=0.
Посмотрите его запись в таком виде:
0 = x 2
+2x – 8
Ноль у нас это значение «у». При у = 0, мы получаем абсциссы точек пересечения параболы с осью ох. Можно сказать, что нулевое значение «у» это есть ось ох.
Теперь посмотрите при каких значениях х выражение x
2
+2
x
– 8
больше (или меньше) нуля? По графику параболы это определить несложно, как говорится, всё на виду:
1. При х < – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x
2
+2
x
–8
будет положительным.
2. При –4 < х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x
2
+2
x
–8
будет отрицательным.
3. При х > 2 ветвь параболы лежит выше оси ох. При указанных х трёхчлен x
2
+2
x
–8
будет положительным.
Третий этап
По параболе нам сразу видно, при каких х выражение x
2
+2
x
–8
больше нуля, равно нулю, меньше нуля. В этом заключается суть третьего этапа решения, а именно увидеть и определить положительные и отрицательные области на рисунке. Сопоставляем полученный результат с исходным неравенством и записываем ответ. В нашем примере необходимо определить все значения х при которых выражение x
2
+2
x
–8
больше нуля. Мы это сделали во втором этапе.
Остаётся записать ответ.
Ответ: x∊(–∞;–4) U (2;∞).
Подведём итог: вычислив в первом шаге корни уравнения, мы можем отметить полученные точки на оси ох (это точки пересечения параболы с осью ох). Далее схематично строим параболу и уже можем увидеть решение. Почему схематично? Математически точный график нам не нужен. Да и представьте, например, если корни получатся 10 и 1500, попробуй-ка построй точный график на листе в клетку с таким разбегом значений. Возникает вопрос! Ну получили мы корни, ну отметили их на оси ох, а зарисовать расположение самой парабола – ветвями вверх или вниз? Тут всё просто! Коэффициент при х 2 вам подскажет:
— если он больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.
— если меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.
В нашем примере он равен единице, то есть положителен.
*Примечание! Если в неравенстве будет стоять знак нестрогий, то есть ≤ или ≥, то корни на числовой прямой следует заштриховать, этим условно обозначается, что сама граница интервала входит в решение неравенства. В данном случае корни не заштрихованы (выколоты), так как неравенство у нас строгое (стоит знак «>»). При чем в ответе, в данном случае, ставятся круглые скобки, а не квадратные (границы не входят в решение).
Написано много, кого-то запутал, наверное. Но если вы решите минимум 5 неравенств с использованием парабол, то восхищению вашему предела не будет. Всё просто!
Итак, кратко:
1. Записываем неравенство, приводим к стандартному.
2. Записываем квадратное уравнение и решаем его.
3. Рисуем ось ох, отмечаем полученные корни, схематично рисуем параболу, ветвями вверх, если коэффициент при х 2 положителен, или ветвями вниз, если он отрицателен.
4. Определяем визуально положительные или отрицательные области и записываем ответ по исходному неравенству.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1: Решить x
2
–15
x
+50 > 0
Первый этап.
Решаем квадратное уравнение x
2
–15
x
+50=0
D
=
b
2
–4
ac
= (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Находим корни:
Второй этап.
Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х 2 положительный:
Третий этап.
Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать.
Записываем ответ.
Ответ: x∊(–∞;5) U (10;∞).
*Знак U обозначает объёдинение решение. Образно можно выразиться так, решением является «этот» И « ещё этот» интервал.
ПРИМЕР 2: Решить –
x
2
+
x
+20 ≤ 0
Первый этап.
Решаем квадратное уравнение –
x
2
+
x
+20=0
D
=
b
2
–4
ac
= 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Находим корни:
Второй этап.
Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас нестрогое, то заштрихуем обозначения корней. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вниз, так как коэффициент при х 2 отрицательный (он равен –1):
Третий этап.
Определяем визуально положительные и отрицательные области. Сопоставляем с исходным неравенством (знак у нас ≤ 0). Неравенство будет верно при х ≤ – 4 и х ≥ 5.
Записываем ответ.
Ответ: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac{2}{3};∞)\) Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких: \(1) x^2+2x+9>0\) \(2) x^2+6x+9≤0\) \(3)-x^2-4x-4>0\) \(4) -x^2-64<0\) \(D=4-36=-32<0\) \(D=-4 \cdot 64<0\) То есть, выражение: То есть, выражение: Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение. С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:
1) \(x^2+2x+9>0\) Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких \(x\) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых \(x\)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики. Ответ: \(x∈(-∞;∞)\) 2) \(x^2+6x+9≤0\) Вопрос от неравенства: «при каких \(x\) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение. Давайте соберем наше выражение по \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем - какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю. \(x+3=0\) Это число и будет ответом. Ответ: \(-3\) 3)\(-x^2-4x-4>0\) Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» - \(∅\). Ответ: \(x∈∅\) 4) \(-x^2-64<0\) Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\). Ответ: \(x∈(-∞;∞)\) Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы. Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад. Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах. Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 - Х) ≥ 20, где Х - время отправления. Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее. Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже. На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7). То есть, выяснив, как решать неравенстватакого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U ∪
или в другой записи x 1 ≤x≤x 2
,
где x 1
и x 2
– корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
, причем x 1 По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0)
, (x 0 , ∞)
. Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом. Делаем выводы: при a>0
и D=0
где x 0
- корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c
. Очевидно, парабола расположена выше оси Ox
на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox
, нет точки касания). Таким образом, при a>0
и D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0
и a·x 2 +b·x+c≥0
является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений. И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox
. В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1
позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2
. Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты. Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом
: На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox
(ось Oy
изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c
. Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента: Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений. Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма. Пример.
Решите неравенство Решение.
Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами −3
и 1/3
. Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи): Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения. Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3)
и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3
и 1/3
. В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3]
. Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3
. Ответ:
[−3, 1/3]
или −3≤x≤1/3
. Пример.
Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0
. Решение.
По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1
, поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1
. Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс: По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7)
, (9, +∞)
. Ответ:
(−∞, 7)∪(9, +∞)
или в другой записи x<7
, x>9
. При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является. Пример.
Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0
хотя бы одно решение? Решение.
Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9
. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2
положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7
, так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0
, откуда
или 0,7
в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так: Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox
, а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox
, поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7
. Ответ:
данное неравенство имеет единственное решение 0,7
. Пример.
Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0
. Решение.
Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2
отрицательный, −1
. Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16
, имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0
и дальше x 0 =−4/(−1)
, x 0 =4
. Итак, парабола касается оси Ox
в точке с абсциссой 4
. Выполним чертеж: Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс. В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4)
, (4, +∞)
. Отдельно заметим, что 4
- абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox. Ответ:
(−∞, 4)∪(4, +∞)
или в другой записи x≠4
. Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0
может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел. Пример.
Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0
. Решение.
Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a
равен 3
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12
. Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox
общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика: Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox
. В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел. Ox
, а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений. Ответ:
нет решений или в другой записи ∅. Список литературы.
Наш квадратный трехчлен принимает значения меньшие нуля там, где график функции расположен ниже оси абсцисс.
Посмотрев на график функции, получаем ответ: $x^2-2x-8
Ответ: $-2
Преобразуем неравенство: $-x^2+5x-6
Разделим неравенство на минус один. Не забудем поменять знак: $x^2-5x+6>0$.
Найдем корни трехчлена: $x_1=2$ и $x_2=3$.
Наш квадратный трехчлен принимает значения большие нуля там, где график функции расположен выше оси абсцисс. Посмотрев на график функции, получаем ответ: $5x-6
Найдем корни нашего трехчлена, для этого вычислим дискриминант: $D=2^2-4*2=-4
Дискриминант меньше нуля. Воспользуемся правилом, которые мы ввели в начале. Знак неравенства будет такой же, как и знак коэффициента при квадрате. В нашем случае коэффициент положительный, значит наше уравнение будет положительном для любого значения х.
Ответ: При всех х, неравенство больше нуля.
Решение:
Найдем корни трехчлена и расположим их на координатной прямой: $x_1=-2$ и $x_2=1$.
Если $x>1$ и $x
Если $x>-2$ и $x
Ответ: $x>-2$ и $x
Задачи на решение квадратных неравенств
Решить неравенства:
а) $x^2-11x+30
б) $2x+15≥x^2$.
в) $3x^2+4x+3
г) $4x^2-5x+2>0$.
Решением будут являться интервал (–5;–4). При всех значениях «х» принадлежащих ему неравенство будет верным.
Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом
Если \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
\(x^2+2x+9\) – положительно при любых \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - отрицательно при любых \(x\), т.к. \(a=-1<0\)Если \(D=0\), то квадратный трехчлен при одном значении \(x\) равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента \(a\).
\(x^2+6x+9\) - равно нулю при \(x=-3\) и положительно при всех остальных иксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - равно нулю при \(x=-2\) и отрицательно при всех остальных, т.к. \(a=-1<0\).
\(D=4-36=-32<0\)
\(D=36-36=0\)
\(x=-3\)
\(D=16-16=0\)
\(D=-4 \cdot 64<0\)
Не опоздать на поезд
Числовые промежутки на координатной прямой
Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0
. Представленному случаю отвечает a>0
(ветви направлены вверх) и D=0
(квадратный трехчлен имеет один корень x 0
). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4
, здесь a=1>0
, D=(−4) 2 −4·1·4=0
и x 0 =2
.
В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0
(ветви направлены вверх) и D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0
, D=0 2 −4·2·1=−8<0
.
Алгоритм решения
Примеры с решениями
.
. Коэффициент при x 2
равен 2
, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена 
. Имеем 
. Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: 
и 
, то есть, x 1 =−3
и x 2 =1/3
.
и 
, x 1 =7
и x 2 =9
. Так парабола пересекает ось Ox
в двух точках с абсциссами 7
и 9
(исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:
