История
Определение 1
Леонарду Эйлеру задали вопрос: можно ли, прогуливаясь по Кенигсбергу, обойти через все мосты города, дважды не проходя ни через один из них. План города с семью мостами прилагался.
В письме знакомому итальянскому математику Эйлер дал краткое и красивое решение проблемы кенигсбергских мостов: при таком расположении задача неразрешима. При этом он указал, что вопрос показался ему интересным, т.к. «для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра...» .
При решении многих задач Л. Эйлер изображал множества с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера» . Этим методом ещё ранее пользовался немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц, который использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями, но при этом чаще использовал линейные схемы. Эйлер же достаточно основательно развил метод. Особенно знаменитыми графические методы стали благодаря английскому логику и философу Джону Венну, который ввел диаграммы Венна и подобные схемы часто называют диаграммами Эйлера-Венна . Используются они во многих областях, например, в теории множеств, теории вероятности, логике, статистике и информатике.
Принцип построения диаграмм
До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.
Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга -- ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.
Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).
Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$
Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств
Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.
Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:
Доказательство:
Рисунок 4. Инверсия $A$
Рисунок 5. Инверсия $B$
Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$
После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам "и", "или" русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Пример 1
В таблице приведены примеры запросов к поисковому серверу. Каждый запрос имеет свой код -- буква от $A$ до $B$. Нужно расположить коды запросов в порядке убывания количества найденных страниц по каждому запросу.
Рисунок 7.
Решение:
Построим для каждого запроса диаграмму Эйлера-Венна:
Рисунок 8.
Ответ: БВА.
Решение логической содержательной задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Пример 2
За зимние каникулы из $36$ учеников класса $2$ не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино сходило $25$ человек, в театр -- $11$, в цирк -- $17$ человек; и в кино, и в театре -- $6$; и в кино и в цирк -- $10$; и в театр и в цирк -- $4$.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Решение:
Обозначим количество ребят, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке -- $x$.
Построим диаграмму и узнаем количество ребят в каждой области:
Рисунок 9.
Не были ни в театре, ни в кино, ни в цирке -- $2$ чел.
Значит, $36 - 2 = 34$ чел. побывали на мероприятиях.
В кино и театр сходило $6$ чел., значит, только в кино и театр ($6 - x)$ чел.
В кино и цирк сходило $10$ чел., значит, только в кино и цирк ($10 - x$) чел.
В театр и цирк сходило $4$ чел., значит, только в театре и цирк ($4 - x$) чел.
В кино сходило $25$ чел., значит, из них только в кино сходило $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.
Аналогично, только в театр сходило ($1+x$) чел.
Только в цирк сходило ($3+x$) чел.
Итак, сходили в театр, кино и цирк:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;
Т.е. только один человек сходил и в театр, и в кино, и в цирк.
Равенство множеств.
Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В .
Если множества не равны, то пишут А ¹ В .
Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В , или В Ì А .
Например, множество решений уравнения x 2 - 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 - простым числом не является.)
Пересечение (умножение) множеств.
Множество D , состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В , называется пересечением множеств А и В и обозначается D = А В.
Рассмотрим два множества: X = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3} содер-жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рас-смотренных множеств Х и Y :
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).
Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]
Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.
Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно-жество учеников восьмых клас-сов, являющихся членами хими-ческого кружка.
Пересечение множеств (и другие операции - см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.
Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В , являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника
Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово-рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение - пустое множество, и пишут А В = Æ.
Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.
Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и -1; 0] и }
