Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.

Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника

Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.

Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность

СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.

Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.

Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).

Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.

Задания с решениями

1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС равна 2R . То есть АС =10
Ответ: 10.

2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.

Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.

Проведем две высоты DM и CN .Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =

Тогда AN =6+1=7

Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС .

Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС .

Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.

Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам

Гдe h - высота и - основание треугольника

Где R- радиус описанной окружности.

Из этих выражений получаем уравнение . Откуда

Площадь круга будет равна

3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах

Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то

Получаем уравнение . Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда

. откуда получаем, что

4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Тогда средняя линия равна

5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.

Тогда .

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда

Тогда периметр

Получаем уравнение

6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .

Проведем высоту КН через точку О

Тогда , где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда

По теореме Пифагора.

Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.

∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 \(\breve{BCD}\).

∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 \(\breve{BAD}\).

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.

Отсюда ∠А + ∠С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно

∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

∠В + ∠D’ = 2d .

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

∠B + ∠Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

∠D’ = 2d - ∠B;

∠E = 2d - ∠B;

но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (рис. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия.

1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Другие материалы

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Центр описанной окружности

Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Центр Вписанная окружность

Определение . Вписанная в выпуклый многоугольник окружность - это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

Где S - площадь многоугольника, p - его полупериметр.

Правильный n-угольник - формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

S =	R 2 3√3

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

Значение числа (произносится «пи» ) - математическая константа, равная отношению

длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Свойства:

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим задачи:

27870. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Треугольник B ОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Следовательно

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Другой способ:

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Сумма смежных углов равна 180 0 , значит

Таким образом

Ответ: 35

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Второй способ:

Построим ОВ и OD.

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

2∙58 0 = 116 0

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

360 0 – 116 0 = 244 0

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .

Ответ: 122

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC:

Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .

По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Ответ: 108

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели.

Образовательная. Создание условий для успешного усвоения понятия описанного четырёхугольника, его свойства, признака и овладения умениями применять их на практике.

Развивающая. Развитие математических способностей, создание условий для умения обобщать и применять прямой и обратный ход мыслей.

Воспитательная. Воспитание чувства красоты эстетикой чертежей, удивления необычным

решением, формирование организованности, ответственность за результаты своего труда.

1. Изучить определение описанного четырёхугольника.

2. Доказать свойство сторон описанного четырёхугольника.

3. Познакомить с двойственностью свойств сумм противоположных сторон и противоположных углов вписанного и описанного четырёхугольников.

4. Дать опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.

5. Провести первичный контроль уровня усвоения нового материала.

Оборудование:

• компьютер, проектор;
• учебник “Геометрия. 10-11 классы” для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни авт. А.В. Погорелов.

Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Использование компьютера при подготовке учителя к уроку.

С помощью стандартной программы операционной системы Windows созданы к уроку:

1. Презентация.
2. Таблицы.
3. Чертежи.
4. Раздаточный материал.

План урока

Организационный момент. (2 мин.)

Проверка домашнего задания. (5 мин.)

Изучение нового материала. (28 мин.)

Самостоятельная работа. (7 мин.)

Домашнее задание.(1 мин.)

Итог урока. (2 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Запись в тетради даты и темы урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

Работа над понятием описанного многоугольника.

Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вопрос. Какие из предложенных многоугольников являются описанными, а какие не являются и почему?

<Презентация. Слайд №2>

Доказательство свойств описанного четырёхугольника.

<Презентация. Слайд №3>

Теорема. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Учащиеся работают с учебником, записывают формулировку теоремы в тетрадь.

1. Представить формулировку теоремы в форме условного предложения.

2. Каково условие теоремы?

3. Каково заключение теоремы?

Ответ. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.

Проводится доказательство, учащиеся делают записи в тетради.

<Презентация. Слайд №4>

Учитель. Отметим двойственность ситуаций для сторон и углов описанного и вписанного четырёхугольников.

Закрепление полученных знаний.

Задачи.

Противоположные стороны описанного четырёхугольника 8 м и 12 м. Можно ли найти периметр?

Задачи по готовым чертежам. <Презентация. Слайд №5>

Ответ. 1. 10 м. 2. 20 м. 3. 21 м

Доказательство признака описанного четырёхугольника.

Сформулировать обратную теорему.

Ответ. Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. (Вернуться к слайду 2, рис.7) <Презентация. Слайд №2>

Учитель. Уточните формулировку теоремы.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Работа с учебником. Познакомиться с доказательством признака описанного четырёхугольника по учебнику.

Применение полученных знаний.

3. Задачи по готовым чертежам.

1. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник с противоположными сторонами 9 м и 4 м, 10 м и 3 м?

2. Можно ли вписать окружность в равнобокую трапецию с основаниями 1 м и 9 м, высотой 3 м?

<Презентация. Слайд №6>

Письменная работа в тетрадях

.

Задача. Найти радиус окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 м и 8 м.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Можно ли вписать окружность

1) в прямоугольник со сторонами 7 м и 10 м,

2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 7 м и 10 м.

Найти периметр четырёхугольника.

3. Равнобокая трапеция с основаниями 4 м и 16 м описана около окружности.

1) радиус вписанной окружности,

2 вариант

1. Можно ли вписать окружность:

1) в параллелограмм со сторонами 6 м и 13 м,

2) в квадрат?

2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 9 м и 11 м. Найти периметр четырёхугольника.

3. Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м.

1) основание трапеции,

2) радиус описанной окружности.

5. Домашнее задание. П.86, № 28, 29, 30.

6. Итог урока. Проверяется самостоятельная работа, выставляются оценки.

<Презентация. Слайд № 8>

---