Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)
В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .
Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле
Свойства арифметической прогрессии
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии
Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.
Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей
В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства
Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.
2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.
3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы
4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу
На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.
Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам
От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии
Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии
Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии
Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.
Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.
Решение:
Запишем формулу сотого элемента прогрессии
и найдем первый
На основе первого находим 50 член прогрессии
Находим сумму части прогрессии
и сумму первых 100
Сумма прогрессии равна 250.
Пример 4.
Найти число членов арифметической прогрессии, если:
а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.
Решение:
Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их
Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме
Выполняем упрощения
и решаем квадратное уравнение
Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.
Пример 5.
Решить уравнение
1+3+5+...+х=307.
Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии
Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.
Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».
И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».
Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.
Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.
Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.
Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:
an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.
Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:
- Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
- Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.
Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).
В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:
К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177
Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.
Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:
Sn = (a1+an) n/2.
Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:
Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.
Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.
Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.
Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a n , d, n
Найти: a 1
Эта математическая программа находит \(a_1\) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_n, d \) и \(n \).
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности
, число a 2 - вторым членом последовательности
,
число a 3 - третьим членом последовательности
и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности
, а натуральное число n - его номером
.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \(a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \(1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)
Арифметическая прогрессия
Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \(365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.
Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.
Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .
Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической
прогрессией
, если для всех натуральных n выполняется равенство
\(a_{n+1} = a_n+d, \)
где d - некоторое число.
Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .
По определению арифметической прогрессии имеем:
\(a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\(a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \(n>1 \)
Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.
Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной
формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например,
для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической
прогрессии
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии
.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.
Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\(S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)
Так как \(a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых
членов арифметической прогрессии
:
\(S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)
Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.
Математическое определение
Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:
Здесь n означает номер элемента a n в последовательности, а число d - это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).
О чем говорит знание разности d? О том, как "далеко" друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a 4 , a10, но, как правило, используют первое число, то есть a 1 .
Формулы для определения элементов прогрессии
В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.
Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.
Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.
Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a 1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:
d = (a n - a m) / (n - m), где n > m
Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между "старшим" и "младшим" членами, то есть n > m ("старший" - имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более "младшего" элемента).
Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.
В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.
Решение без использования формул
Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.
Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз - восьмой, наконец, третий раз - девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:
Таким образом, неизвестная разность d = 5.
Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.
Задача, подобная предыдущей
Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти если а3 = 2, а9 = 19.
Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения "в лоб". Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:
d = (а 9 - а 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.
Задачи на применение формулы для an члена
Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.
Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a 1 , тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для a n члена. В данном случае имеем:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.
Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.
Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Что еще следует знать о прогрессии арифметической
Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задано числовую последовательность :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.
Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .
Из двух соседних членов a n и a n +1 последовательности член a n +1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n +1 ).
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.
Например,
последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой
a n = 2n - 1,
а последовательность чередующихся 1 и -1 — формулой
b n = (-1) n +1 . ◄
Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.
Например,
если a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Если а 1 = 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последовательности могут быть конечными и бесконечными .
Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.
Например,
последовательность двузначных натуральных чисел:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
конечная.
Последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
бесконечная. ◄
Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.
Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.
Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . . — возрастающая последовательность;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность. ◄
Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .
Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .
является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
a n +1 = a n + d ,
где d — некоторое число.
Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:
а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d .
Число d называют разностью арифметической прогрессии .
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
Например,
если a 1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19. ◄
Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n
a n = a 1 + (n - 1)d.
Например,
найдём тридцатый член арифметической прогрессии
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n - 2)d,
a n = a 1 + (n - 1)d,
a n +1 = a 1 + nd ,
то, очевидно,
| a n
=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.
Например,
a n = 2n - 7 , является арифметической прогрессией.
Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
a n = 2n - 7,
a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n - 9,
a n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2n - 5.
Следовательно,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n
- 5 + 2n
- 9
| = 2n
- 7 = a n
,
|
| 2
| 2
|
◄
Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k
a n = a k + (n - k )d .
Например,
для a 5 можно записать
a 5 = a 1 + 4d ,
a 5 = a 2 + 3d ,
a 5 = a 3 + 2d ,
a 5 = a 4 + d . ◄
a n = a n-k + kd ,
a n = a n+k - kd ,
то, очевидно,
| a n
=
| a n-k
+ a n+k
|
| 2
|
любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.
Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:
a m + a n = a k + a l ,
m + n = k + l.
Например,
в арифметической прогрессии
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13 )/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9 , так как
a 2 + a 12 = 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ,
первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:
Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены
a k , a k +1 , . . . , a n ,
то предыдущая формула сохраняет свою структуру:
Например,
в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:
Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:
- если d > 0 , то она является возрастающей;
- если d < 0 , то она является убывающей;
- если d = 0 , то последовательность будет стационарной.
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . .
является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
b n +1 = b n · q ,
где q ≠ 0 — некоторое число.
Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q .
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.
Например,
если b 1 = 1, q = -3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q = -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q = 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q = -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:
b n = b 1 · q n -1 .
Например,
найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64 . ◄
b n-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n ,
то, очевидно,
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.
Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.
Например,
докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b n = -3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
b n = -3 · 2 n ,
b n -1 = -3 · 2 n -1 ,
b n +1 = -3 · 2 n +1 .
Следовательно,
b n 2 = (-3 · 2 n ) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
что и доказывает нужное утверждение. ◄
Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b 1 , но и любой предыдущий член b k , для чего достаточно воспользоваться формулой
b n = b k · q n - k .
Например,
для b 5 можно записать
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3 ,
b 5 = b 3 · q 2 ,
b 5 = b 4 · q . ◄
b n = b k · q n - k ,
b n = b n - k · q k ,
то, очевидно,
b n 2 = b n - k · b n + k
квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:
b m · b n = b k · b l ,
m + n = k + l .
Например,
в геометрической прогрессии
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так как
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:
А при q = 1 — по формуле
S n = nb 1
Заметим, что если нужно просуммировать члены
b k , b k +1 , . . . , b n ,
то используется формула:
| S n - S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n
-
k
+1
| . |
| 1 - q
|
Например,
в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Если дана геометрическая прогрессия, то величины b 1 , b n , q , n и S n связаны двумя формулами:
Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Для геометрической прогрессии с первым членом b 1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :
- прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:
b 1 > 0 и q > 1;
b 1 < 0 и 0 < q < 1;
- прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:
b 1 > 0 и 0 < q < 1;
b 1 < 0 и q > 1.
Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
P n = b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n ) n / 2 .
Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть
|q | < 1 .
Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю
1 < q < 0 .
При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой
| S = b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b
1
| . |
| 1 - q
|
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Например,
1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем q , то
log a b 1 , log a b 2 , log a b 3 , . . . — арифметическая прогрессия с разностью log a q .
Например,
2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄
