Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры для 1 класса в интернет-магазине "Интеграл"
Математика, 1-4 классы, Петерсон Л.Г., электронное учебное пособие к учебникам

Из истории

Тетраэдр еще одна удивительная фигура, которая довольно часто встречается в нашей жизни, но обычно наши знания о нем ограничиваются определением, свойствами и формулами из школьного курса геометрии.

Слово "тетраэдр" образовано из двух греческих слов: tetra - переводиться как четыре и hedra - означает основание, грань; в каждой вершине тетраэдра сходятся по 3 грани. Эта фигура имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.

С самых древних времен представления людей о красоте были связаны с симметрией. Возможно, этим объясняется интерес людей к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей и людей всех эпох. Уже во времена Пифагора дивились их красоте и симметрии. Ученики Пифагора считали, что правильные многогранники - это божественные фигуры и использовали их в философских сочинениях. Первоосновам бытия - огню, воздуху, воде, земле придавалась форма соответственно октаэдра, икосаэдра, тетраэдра, куба, а Вселенная представлялась в форме додекаэдра. Ученики Платона продолжили изучение перечисленных тел, поэтому эти многогранники называют Платоновыми телами.

Роль задач о тетраэдрах очень высока в развитии математического мышления школьников. Эти задачи стимулируют накопление геометрических представлений и знаний, способствуют развитию пространственного мышления, что особенно важно в процессе изучения стереометрии.

Где можно встретить тетраэдр? Тетраэдр, такая удивительная геометрическая фигура, которая встречается нам повсюду, но с первого взгляда ее не так просто заметить. Тетраэдр может образовать жёсткую конструкцию. Выполненный из стержней, его часто используют в качестве основы для пространственных конструкций балок, ферм мостов, пролётов зданий, перекрытий и т. д. Прямоугольный тетраэдр давно используется в оптике. На велосипедах отражатели катафоты имеют форму тетраэдра. Благодаря свойствам тетраэдра, катафоты отражают свет и другим людям и водителям видно велосипедиста. Если внимательно присмотреться, то внутри катафота видно множество форм тетраэдра.

Виды тетраэдра

Фигуру тетраэдр можно разделить на несколько видов, какие они бывают?

Равногранный тетраэдр , все его грани являются равными между собой треугольниками;

Ортоцентрический тетраэдр , высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;

Прямоугольный тетраэдр , ребра, прилежащие к одной из вершин, являются перпендикулярными между собой;

Правильный тетраэдр , это тетраэдр, грани которого являются равносторонними треугольниками,

Инцентрический тетраэдр , его отрезки соединяют вершины с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани и пересекаются в одной точке.

Выделяют так же каркасный тетраэдр, соразмерный тетраэдр .

Тетраэдр - подсказанное нам природой идеальное равновесие, в основе которого, идеальность равнобедренного треугольника. Тетраэдр - треугольник, но только в объемном виде, в наше время его можно назвать 3D треугольник.

Пополнить свою коллекцию геометрических фигур новой фигурой - тетраэдром, вы можете используя развертки, представленные на нашем сайте. Тетраэдр, собранный по этим разверткам можно использовать для обучения, например, что бы научить детишек считать, узнавать цвета, можно объяснить, что такое плоскость и объем, что такое треугольник др.

Развертка тетраэдра из бумаги или из картона

Схема тетраэдра с арабскими цифрами 1,2,3,4 (грань 10 см)	Схема тетраэдра с арабскими цифрами 5,6,7,8 (грань 10 см)	Схема тетраэдра с арабскими цифрами 0,1,2,9 (грань 10 см)
JPG	JPG	JPG

Схема разноцветного тетраэдра №1 (грань 10 см)	Схема разноцветного тетраэдра №2 (грань 10 см)	Схема разноцветного тетраэдра №3 (грань 10 см)
JPG	JPG	JPG

Схема простого тетраэдра (грань - 10 см)	Схема тетраэдра с формулами (грань 10 см)	Схема тетраэдра с героями советских мультиков (грань - 10 см)

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Разверткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделенный тремя средними линиями на четыре равных треугольника . В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

• Все его грани равны (конгруэнтны).
• Скрещивающиеся ребра попарно равны.
• Трехгранные углы равны.
• Противолежащие двугранные углы равны.
• Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
• Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм.
• Описанный параллелепипед прямоугольный.
• Тетраэдр имеет три оси симметрии.
• Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно перпендикулярны.
• Средние линии попарно перпендикулярны.
• Периметры граней равны.
• Площади граней равны.
• Высоты тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
• Радиусы описанных около граней окружностей равны.
• Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
• Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
• Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
• Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
• Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням), равна нулю.
• Сумма всех двугранных углов равна нулю.

Ортоцентрический тетраэдр

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Свойства ортоцентрического тетраэдра:

• Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
• Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
• Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
• Суммы квадратов противоположных ребер тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, равны.
• Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
• Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных ребер.
• У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
• У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

Все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда .

Каркасный тетраэдр

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий :

• существует сфера, касающаяся всех ребер,
• суммы длин скрещивающихся ребер равны,
• суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
• окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
• все четырёхугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, - описанные,
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр

Свойства соразмерного тетраэдра:

• Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его ребрам (ребрам, не имеющим общих вершин).
• Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане , есть ромб . Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).
• Грани описанного параллелепипеда равновелики.
• Выполняются соотношения: $4a^2\{a\_1\}^2-\; (b^2+\{b\_1\}^2-c^2-\{c\_1\}^2)^2=4b^2\{b\_1\}^2-\; (c^2+\{c\_1\}^2-a^2-\{a\_1\}^2)^2=4c^2\{c\_1\}^2-\; (a^2+\{a\_1\}^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, где $a$ и $a\_1$, $b$ и $b\_1$, $c$ и $c\_1$ - длины противоположных ребер.
• Для каждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
• В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

Инцентрический тетраэдр

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

• Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка - центр тяжести тетраэдра.
• Замечание . Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра . Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами , мы получим определение нового класса тетраэдров - инцентрических .
• Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы углов двух граней, проведенному к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
• Произведения длин противоположных ребер равны.
• Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трех ребер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих ребер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани правильные треугольники . Является одним из пяти тел Платона .

Свойства правильного тетраэдра:

• все ребра тетраэдра равны между собой,
• все грани тетраэдра равны между собой,
• периметры и площади всех граней равны между собой.
• Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
• Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный .
• Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный .
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра.
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
• Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

• Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках $\backslash mathbf\{r\}\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf\{r\}\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf\{r\}\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf\{r\}\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$ равен

$V\; =\; \backslash frac16$

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} = \frac16 \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end{vmatrix}, или

$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash \; S\; H,$

где $S$ – площадь любой грани, а $H$ – высота, опущенная на эту грань.

• Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера :

$288\; \backslash cdot\; V^2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\ 1 & d_{12}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\ 1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0 & d_{34}^2 \\ 1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0

\end{vmatrix}.

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол $\backslash phi$, находится по формуле:

$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash \; abc\; \backslash sqrt\; \{D\}\; ,$

где $$D=\; \backslash begin\{vmatrix\}$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end{vmatrix}.

• Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b , выходящих из одной вершины и образующих между собой угол $\backslash gamma$:

$S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash \; ab\; \backslash sqrt\; \{D\}\; ,$

где $D=\; \backslash begin\{vmatrix\}$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end{vmatrix}.

Тетраэдры в микромире

• Правильный тетраэдр образуется при sp 3 -гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника
• Молекула метана СН 4
• Сульфат-ион SO 4 2- , фосфат-ион PO 4 3- , перхлорат-ион ClO 4 - и многие другие ионы
• Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF 2 , тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит , ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Комплексные ионы - , 2- , 2- , 2+
• Силикаты , в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр 4-

Тетраэдры в живой природе

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи .

Тетраэдры в технике

См. также

• Симплекс - n-мерный тетраэдр

Напишите отзыв о статье "Тетраэдр"

Примечания

Литература

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант» , № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.

Правильные Правильные невыпуклые Выпуклые Формулы , теоремы , теории Прочее

Отрывок, характеризующий Тетраэдр

На четвертый день пожары начались на Зубовском валу.
Пьера с тринадцатью другими отвели на Крымский Брод, в каретный сарай купеческого дома. Проходя по улицам, Пьер задыхался от дыма, который, казалось, стоял над всем городом. С разных сторон виднелись пожары. Пьер тогда еще не понимал значения сожженной Москвы и с ужасом смотрел на эти пожары.
В каретном сарае одного дома у Крымского Брода Пьер пробыл еще четыре дня и во время этих дней из разговора французских солдат узнал, что все содержащиеся здесь ожидали с каждым днем решения маршала. Какого маршала, Пьер не мог узнать от солдат. Для солдата, очевидно, маршал представлялся высшим и несколько таинственным звеном власти.
Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х
8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n"avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.
Очевидно, русское гнездо было разорено и уничтожено; но за уничтожением этого русского порядка жизни Пьер бессознательно чувствовал, что над этим разоренным гнездом установился свой, совсем другой, но твердый французский порядок. Он чувствовал это по виду тех, бодро и весело, правильными рядами шедших солдат, которые конвоировали его с другими преступниками; он чувствовал это по виду какого то важного французского чиновника в парной коляске, управляемой солдатом, проехавшего ему навстречу. Он это чувствовал по веселым звукам полковой музыки, доносившимся с левой стороны поля, и в особенности он чувствовал и понимал это по тому списку, который, перекликая пленных, прочел нынче утром приезжавший французский офицер. Пьер был взят одними солдатами, отведен в одно, в другое место с десятками других людей; казалось, они могли бы забыть про него, смешать его с другими. Но нет: ответы его, данные на допросе, вернулись к нему в форме наименования его: celui qui n"avoue pas son nom. И под этим названием, которое страшно было Пьеру, его теперь вели куда то, с несомненной уверенностью, написанною на их лицах, что все остальные пленные и он были те самые, которых нужно, и что их ведут туда, куда нужно. Пьер чувствовал себя ничтожной щепкой, попавшей в колеса неизвестной ему, но правильно действующей машины.
Пьера с другими преступниками привели на правую сторону Девичьего поля, недалеко от монастыря, к большому белому дому с огромным садом. Это был дом князя Щербатова, в котором Пьер часто прежде бывал у хозяина и в котором теперь, как он узнал из разговора солдат, стоял маршал, герцог Экмюльский.
Их подвели к крыльцу и по одному стали вводить в дом. Пьера ввели шестым. Через стеклянную галерею, сени, переднюю, знакомые Пьеру, его ввели в длинный низкий кабинет, у дверей которого стоял адъютант.
Даву сидел на конце комнаты над столом, с очками на носу. Пьер близко подошел к нему. Даву, не поднимая глаз, видимо справлялся с какой то бумагой, лежавшей перед ним. Не поднимая же глаз, он тихо спросил:
– Qui etes vous? [Кто вы такой?]
Пьер молчал оттого, что не в силах был выговорить слова. Даву для Пьера не был просто французский генерал; для Пьера Даву был известный своей жестокостью человек. Глядя на холодное лицо Даву, который, как строгий учитель, соглашался до времени иметь терпение и ждать ответа, Пьер чувствовал, что всякая секунда промедления могла стоить ему жизни; но он не знал, что сказать. Сказать то же, что он говорил на первом допросе, он не решался; открыть свое звание и положение было и опасно и стыдно. Пьер молчал. Но прежде чем Пьер успел на что нибудь решиться, Даву приподнял голову, приподнял очки на лоб, прищурил глаза и пристально посмотрел на Пьера.
– Я знаю этого человека, – мерным, холодным голосом, очевидно рассчитанным для того, чтобы испугать Пьера, сказал он. Холод, пробежавший прежде по спине Пьера, охватил его голову, как тисками.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu… [Вы не могли меня знать, генерал, я никогда не видал вас.]
– C"est un espion russe, [Это русский шпион,] – перебил его Даву, обращаясь к другому генералу, бывшему в комнате и которого не заметил Пьер. И Даву отвернулся. С неожиданным раскатом в голосе Пьер вдруг быстро заговорил.
– Non, Monseigneur, – сказал он, неожиданно вспомнив, что Даву был герцог. – Non, Monseigneur, vous n"avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n"ai pas quitte Moscou. [Нет, ваше высочество… Нет, ваше высочество, вы не могли меня знать. Я офицер милиции, и я не выезжал из Москвы.]
– Votre nom? [Ваше имя?] – повторил Даву.
– Besouhof. [Безухов.]
– Qu"est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Кто мне докажет, что вы не лжете?]
– Monseigneur! [Ваше высочество!] – вскрикнул Пьер не обиженным, но умоляющим голосом.
Даву поднял глаза и пристально посмотрел на Пьера. Несколько секунд они смотрели друг на друга, и этот взгляд спас Пьера. В этом взгляде, помимо всех условий войны и суда, между этими двумя людьми установились человеческие отношения. Оба они в эту одну минуту смутно перечувствовали бесчисленное количество вещей и поняли, что они оба дети человечества, что они братья.
В первом взгляде для Даву, приподнявшего только голову от своего списка, где людские дела и жизнь назывались нумерами, Пьер был только обстоятельство; и, не взяв на совесть дурного поступка, Даву застрелил бы его; но теперь уже он видел в нем человека. Он задумался на мгновение.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Чем вы докажете мне справедливость ваших слов?] – сказал Даву холодно.
Пьер вспомнил Рамбаля и назвал его полк, и фамилию, и улицу, на которой был дом.
– Vous n"etes pas ce que vous dites, [Вы не то, что вы говорите.] – опять сказал Даву.
Пьер дрожащим, прерывающимся голосом стал приводить доказательства справедливости своего показания.
Но в это время вошел адъютант и что то доложил Даву.
Даву вдруг просиял при известии, сообщенном адъютантом, и стал застегиваться. Он, видимо, совсем забыл о Пьере.
Когда адъютант напомнил ему о пленном, он, нахмурившись, кивнул в сторону Пьера и сказал, чтобы его вели. Но куда должны были его вести – Пьер не знал: назад в балаган или на приготовленное место казни, которое, проходя по Девичьему полю, ему показывали товарищи.
Он обернул голову и видел, что адъютант переспрашивал что то.
– Oui, sans doute! [Да, разумеется!] – сказал Даву, но что «да», Пьер не знал.
Пьер не помнил, как, долго ли он шел и куда. Он, в состоянии совершенного бессмыслия и отупления, ничего не видя вокруг себя, передвигал ногами вместе с другими до тех пор, пока все остановились, и он остановился. Одна мысль за все это время была в голове Пьера. Это была мысль о том: кто, кто же, наконец, приговорил его к казни. Это были не те люди, которые допрашивали его в комиссии: из них ни один не хотел и, очевидно, не мог этого сделать. Это был не Даву, который так человечески посмотрел на него. Еще бы одна минута, и Даву понял бы, что они делают дурно, но этой минуте помешал адъютант, который вошел. И адъютант этот, очевидно, не хотел ничего худого, но он мог бы не войти. Кто же это, наконец, казнил, убивал, лишал жизни его – Пьера со всеми его воспоминаниями, стремлениями, надеждами, мыслями? Кто делал это? И Пьер чувствовал, что это был никто.
Это был порядок, склад обстоятельств.
Порядок какой то убивал его – Пьера, лишал его жизни, всего, уничтожал его.

От дома князя Щербатова пленных повели прямо вниз по Девичьему полю, левее Девичьего монастыря и подвели к огороду, на котором стоял столб. За столбом была вырыта большая яма с свежевыкопанной землей, и около ямы и столба полукругом стояла большая толпа народа. Толпа состояла из малого числа русских и большого числа наполеоновских войск вне строя: немцев, итальянцев и французов в разнородных мундирах. Справа и слева столба стояли фронты французских войск в синих мундирах с красными эполетами, в штиблетах и киверах.
Преступников расставили по известному порядку, который был в списке (Пьер стоял шестым), и подвели к столбу. Несколько барабанов вдруг ударили с двух сторон, и Пьер почувствовал, что с этим звуком как будто оторвалась часть его души. Он потерял способность думать и соображать. Он только мог видеть и слышать. И только одно желание было у него – желание, чтобы поскорее сделалось что то страшное, что должно было быть сделано. Пьер оглядывался на своих товарищей и рассматривал их.
Два человека с края были бритые острожные. Один высокий, худой; другой черный, мохнатый, мускулистый, с приплюснутым носом. Третий был дворовый, лет сорока пяти, с седеющими волосами и полным, хорошо откормленным телом. Четвертый был мужик, очень красивый, с окладистой русой бородой и черными глазами. Пятый был фабричный, желтый, худой малый, лет восемнадцати, в халате.
Пьер слышал, что французы совещались, как стрелять – по одному или по два? «По два», – холодно спокойно отвечал старший офицер. Сделалось передвижение в рядах солдат, и заметно было, что все торопились, – и торопились не так, как торопятся, чтобы сделать понятное для всех дело, но так, как торопятся, чтобы окончить необходимое, но неприятное и непостижимое дело.
Чиновник француз в шарфе подошел к правой стороне шеренги преступников в прочел по русски и по французски приговор.
Потом две пары французов подошли к преступникам и взяли, по указанию офицера, двух острожных, стоявших с края. Острожные, подойдя к столбу, остановились и, пока принесли мешки, молча смотрели вокруг себя, как смотрит подбитый зверь на подходящего охотника. Один все крестился, другой чесал спину и делал губами движение, подобное улыбке. Солдаты, торопясь руками, стали завязывать им глаза, надевать мешки и привязывать к столбу.
Двенадцать человек стрелков с ружьями мерным, твердым шагом вышли из за рядов и остановились в восьми шагах от столба. Пьер отвернулся, чтобы не видать того, что будет. Вдруг послышался треск и грохот, показавшиеся Пьеру громче самых страшных ударов грома, и он оглянулся. Был дым, и французы с бледными лицами и дрожащими руками что то делали у ямы. Повели других двух. Так же, такими же глазами и эти двое смотрели на всех, тщетно, одними глазами, молча, прося защиты и, видимо, не понимая и не веря тому, что будет. Они не могли верить, потому что они одни знали, что такое была для них их жизнь, и потому не понимали и не верили, чтобы можно было отнять ее.
Пьер хотел не смотреть и опять отвернулся; но опять как будто ужасный взрыв поразил его слух, и вместе с этими звуками он увидал дым, чью то кровь и бледные испуганные лица французов, опять что то делавших у столба, дрожащими руками толкая друг друга. Пьер, тяжело дыша, оглядывался вокруг себя, как будто спрашивая: что это такое? Тот же вопрос был и во всех взглядах, которые встречались со взглядом Пьера.

На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра
А, B , C , D - вершины тетраэдра .
AB , AC , AD , BC , BD , CD - ребра тетраэдра .
ABC , ABD , BDC , ADC - грани тетраэдра .

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение :
Рассмотрим грань тетраэдра D ВС . В этой грани точки N и P принадлежат грани D ВС , а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP - это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D ВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости D ВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС . Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .

Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .

Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ , АС , ВС .
В плоскости АВ D через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВ D . Аналогично в плоскости АС D через точку Р проведем прямую РR параллельно АС . Получили точку R . Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС , значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR - искомое сечение. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D МN . Пусть прямая D М пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СК D - это сечение плоскости D МN и тетраэдра. В плоскости D МN лежит и прямая NM , и полученная прямая СК . Значит, если NM не параллельна СК , то они пересекутся в некоторой точке Р . Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС . В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС . Это точка К , она получена с помощью вспомогательной плоскости D МN , т.е. мы проводим D М и получаем точку F . Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К .

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР . Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС . Получаем точки Р 1 и Р 2 . Соединяем Р 1 и М и на продолжении получаем точку М 1 . Соединяем точку Р 2 и N . В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1 . Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС . Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р 1 Р 2 , тогда прямая Р 1 Р 2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().

3. Фестиваль педагогических идей ().

Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?

---