Знак равенства используется в математике очень часто, и смысл, который придается этому знаку, далеко не всегда один и тот же. Так, часто мы соединяем знаком равенства два числа, например:
1370 = 3 2 ·5·31 (1) ;
(2) ;
(3)
;
(4)
Каждая такая запись представляет собой некоторое высказывание, которое может быть истинным или ложным. Среди приведенных выше четырех высказываний такого рода второе, третье и четвертое являются истинными, а первое - ложным.
Для того чтобы убедиться в истинности (или ложности) такого высказывания, нередко бывает нужно произвести те или иные действия: сложение дробей, разложение на множители, возведение суммы двух чисел в квадрат и т. п. Однако смысл знака равенства во всех этих случаях один и тот же: истинность такого высказывания означает, что слева и справа от знака равенства стоит одно и то-же число (только, может быть, записанное по-разному).
Высказывания такого вида мы будем называть числовыми равенствами. Если некоторое числовое равенство представляет собой истинное высказывание, то для краткости говорят: «это - верное равенство». Так, равенство (2) - верное. Если же некоторое числовое равенство представляет собой ложное высказывание, то для краткости говорят: «это-неверное равенство». Так, (1) -неверное равенство.
В ином смысле применяется знак =, когда идет речь о равенстве функций. Напомним, что две функции f (х) и g (х) считаются равными (т. е. совпадающими), если, во-первых, области определения этих двух функций совпадают и, во-вторых, для любого числа х 0 , принадлежащего общей области определения этих функций, значения функций в точке х 0 совпадают, т. е. верно числовое равенство f (х 0) = g(x 0). Равенство функций (х) и g(x) обычно выражают записью f(x) = g(x).
Например, мы пишем (х 2 + 1) 6 = х 3 + Зx 4 +. Зx 2 + 1, выражая этой записью тот факт, что слева и справа от знака = стоят равные функции (т. е. слева и справа стоит одна и та же функция, только, может быть, записанная по-разному).
В записи, выражающей равенство (т. е. совпадение) двух функций, вместо знака = часто используют знак, называемый знаком тождественного равенства.
Запись f(x)g(x) означает совпадение функций f(х) и g(x). Запись равенства двух функций (т. е. соотношение f(х) = g{x) или f(x)g(x)) называют также тождеством.
Подчеркнем еще раз: когда мы говорим, что f(x) = g(x) есть тождество, то это означает, что области определения функций f(х) и g(х) совпадают и при этом для любого х 0 , принадлежащего этой области определения, справедливо числовое равенство f(x 0) = g(x 0).
Примерами тождеств могут служить соотношения:
(x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1,
log 2 2 х = х,
sin 2 x= 1 - cos 2 x.
Иногда при рассмотрении тождеств приходится ограничивать области определения функций. Именно, будем говорить, что равенство f(x) = g(x) является тождеством на множестве М, если, во-первых, множество М содержится в области определения каждой из функций f(x), g (х) и, во-вторых, для любого числа х 0 , принадлежащего множеству М, справедливо числовое равенство f(x 0) = g (x 0) В этом случае пишут:
f{x)g(х) на множестве М или f(x) = g{x) при хМ.
. Пример 1. Равенствоявляется тождеством на множестве неотрицательных чисел, т. е.x при х0.
Заметим, что обе функции y=и y = х определены на множестве всех действительных чисел, но значения их совпадают лишь на множестве неотрицательных чисел. На множестве всех действительных чисел соотношениетождеством не является.
Пример 2. Рассмотрим равенство arcsin(sinx) =. Обе функции (стоящие в левой и правой частях равенства) определены на множестве всех действительных чисел. Однако написанное равенство является тождеством лишь на отрезке , т. е. arcsin(sin x) =при 0x Разумеется, при написании тождеств вовсе не обязательно обозначать аргумент функций буквой х. Можно аргумент обозначить буквой z, буквой а или любым другим символом.
Так, соотношения
(z + 7) 2 = z 2 - 14z + 49,
(а - 1)(а 2 + а + 1) = а 3 - 1
являются тождествами на множестве всех действительных чисел (или даже на множестве всех комплексных чисел), Можно также рассматривать функции, зависящие от двух или большего числа аргументов, и писать тождества для таких функций. Конечно, и в этом случае надо указывать, при каких значениях аргументов написанное равенство является тождеством.
Например, равенство log 2 a b = b log 2 a является тождеством при а > 0 и любом действительном b; равенство
является тождеством при x+k, y+n, x + y+m, где k, n m -любые целые числа, и т. д.
Мы рассмотрели два случая использования знака = в алгебре: для записи числовых равенств и для записи тождеств (в последнем случае он иногда заменяется знаком?. В совершенно ином смысле используется знак = при рассмотрении уравнений. Уравнение с одним неизвестным х в общем случае записывается в виде
f(x) = g(x), (5)
где f(х) и g(x) - произвольные функции, Таким образом, по внешнему виду уравнение выглядит так же, как и тождество: две функции, соединенные знаком равенства. Но когда мы говорим, что соотношение (5) есть уравнение, то это показывает наше отношение к этому равенству. Именно, когда мы говорим, что (5) есть уравнение, то это означает, что равенство (5) рассматривается как неопределенное высказывание (при одних значениях х истинное, при других-ложное), и мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. таких значений х, при подстановке которых это неопределенное высказывание становится истинным. Более подробно, корнем (или решением) уравнения называется всякое число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части уравнения получается справедливое (верное) числовое равенство. Но что значит «получается справедливое числовое равенство»? Это означает, во-первых, что при подстановке этого числа вместо неизвестного все действия, обозначенные в левой и правой частях уравнения, оказываются выполнимыми и, во-вторых, в результате выполнения этих действий в левой и правой частях получается одно и то же число. Иначе говоря, число а называется корнем уравнения (5), если, во-первых, это число принадлежит как области определения функции f(x), так и области определения функции g(x) и, во-вторых, значения этих функций в точке а совпадают, т. е.
f(a) = g{a).
Итак, если сказано, что равенство (5) рассматривается как уравнение, то это означает, что мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. тех значений, которые обращают соотношение (5) в верное числовое равенство.
Пример 3. Для уравнения (х - 1) 2 = х 2 - 2x + 1 любое действительное число b является корнем, так как равенство (b - 1) 2 = b 2 - 2b + 1 имеет место для любого действительного числа b.
Пример 4. Если рассматривать уравнение |х| = х на множестве всех действительных чисел, то всякое неотрицательное число является корнем этого уравнения (других корней нет).
Пример 5. Уравнение lgx = 1g(- х) не имеет решений, так как левая часть этого уравнения определена при положительных значениях х, а правая - при отрицательных, т. е. области определения левой и правой частей не имеют общих точек.
Пример 6 . Уравнение cosx = 2 не имеет решений на множестве действительных чисел, так как |cosx 0 |1 для любого действительного числа х 0 .
Пример 7. Уравнение х 2 = -1 не имеет решений намножестве действительных чисел и имеет два решения, x = i и х = -i., на множестве комплексных чисел.
Если найдена некоторая совокупность значений х, каждое из которых является корнем уравнения f (x)=g(x), то это еще не значит, что мы решили уравнение.
Решить уравнение - значит найти все его решения (или доказать, что уравнение не имеет решений).
Отметим, что бессмысленно ставить вопрос, «является ли равенство f(x) = g(x) тождеством или уравнением». Одно и то.же равенство f{x) = g(x) в различных условиях может рассматриваться и как тождество, и как уравнение. Если мы говорим, что f(х) = g(x) есть тождество», то непременно надо указывать, на каком множестве это равенство является тождеством. Фраза «f(x)=g(x) есть тождество на множестве М» есть некоторое утверждение, некоторое высказывание. Если же мы говорим, что рассматриваем уравнение f(x) = g(x), то мы, по существу, имеем дело с вопросительным предложением: мы ставим вопрос, каковы корни этого уравнения, т. е. каковы те значения х, которые обращают соотношение f(x) = g(x) в верное числовое равенство.
Пример 8. Равенствоможно рассматривать и как тождество, и как уравнение. Если мы относимся к этому равенству как к тождеству, то наиболее полной формулировкой будет следующая: равенствоявляется тождеством при x > 0. Если же мы относимся к этому равенству как к уравнению, то это означает, что мы рассматриваем задачу: решить уравнениет. е. ставим вопрос о том, каковы корни этого уравнения. Ответ будет таков: корнями уравненияявляются все неотрицательные числа и только они.
Пример 9. Бессмысленно ставить вопрос, является ли соотношение 0·x + 5 = 5 тождеством или уравнением. Мы можем сказать, что оно является тождеством на множестве всех действительных чисел. Но мы можем также рассматривать это соотношение как уравнение и тогда скажем, что корнями этого уравнения являются все действительные числа.
Замечание. Кроме рассмотренных выше случаев использования знака = в математике встречаются и другие. Так, выражение вида «рассмотрим функцию f(x) = x 3 - Зх 2 + 5x + 11» часто используется в качестве определения. В этом случае знак = имеет тот смысл, что всюду в проводимом рассуждении f (х) будет обозначать именно эту функцию.
Получив представление о тождествах , логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.
Навигация по странице.
Что такое тождественно равные выражения?
Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:
Определение.
– это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, которым отвечают одинаковые значения, также называют тождественно равными.
Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений , так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.
В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целых выражений, при некоторых значениях переменных могут не иметь смысла. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также области допустимых значений ОДЗ переменной, и как следствие - внести уточнение в определение тождественно равных выражений.
Определение.
Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.
В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.
Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:
Определение.
Тождественно равные выражения – это выражения, стоящие в левой и правой частях тождества.
По смыслу это и предыдущее определения совпадают.
Примеры тождественно равных выражений
Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений .
Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 являются тождественно равными, так как им соответствуют равные значения 3 и 3 . Также тождественно равны выражения 5 и 30:6 , как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны в силу ). А вот числовые выражения 3+2 и 3−2 не являются тождественно равными, так как им соответствуют значения 5 и 1 соответственно, а они не равны.
Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Таковыми являются выражения a+b и b+a . Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из чисел). К примеру, при a=1 и b=2 имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 тоже тождественно равны при любых значениях переменных x , y и z . А вот выражения 2·x и 3·x не являются тождественно равными, так как, к примеру, при x=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2·x равно 2·1=2 , а выражение 3·x равно 3·1=3 .
Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях a+1 и 1+a , или a·b·0 и 0 , или и , и значения этих выражений равны при всех значениях переменных из этих областей, то тут все понятно – эти выражения тождественно равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Так a+1≡1+a при любых a , выражения a·b·0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b , а выражения и тождественно равны при всех x из ; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств
Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:
Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.
Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).
Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:
3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то
3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.
Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.
Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.
Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,
а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;
ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.
Тождественностями есть и такие равенства:
а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;
а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.
Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.
Пример 1. Упростить выражение:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;
2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.
Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.
Доказать тождество можно одним из следующих способов:
- выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
- выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
- выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.
Пример 2. Доказать тождество:
1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;
2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.
Р а з в’ я з а н н я.
1) Преобразуем левую часть данного равенства:
2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.
Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
2) Преобразуем правую часть данного равенства:
5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.
Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:
2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;
13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.
Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.
Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?
- (Устно) Или есть выражения тождественно равными:
1) 2а + а и 3а;
2) 7х + 6 и 6 + 7х;
3) x + x + x и x 3 ;
4) 2(х - 2) и 2х - 4;
5) m - n и n - m;
6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?
- Являются ли тождественно равными выражения:
1) 7х - 2х и 5х;
2) 5а - 4 и 4 - 5а;
3) 4m + n и n + 4m;
4) а + а и а 2 ;
5) 3(а - 4) и 3а - 12;
6) 5m ∙ n и 5m + n?
- (Устно) является Ли тождеством равенство:
1) 2а + 106 = 12аb;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(х - у) = 3х - 5у?
- Раскройте скобки:
- Раскройте скобки:
- Сведите подобные слагаемые:
- Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
- Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:
1) -2,5 х ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2 х ∙ (0,3 г);
4)- х ∙ <-7у).
- Упростите выражение:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7а ∙ (-1,2);
3) 0,2 х ∙ (-3у);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Устно) Упростите выражение:
1) 2х - 9 + 5х;
2) 7а - 3b + 2а + 3b;
4) 4а ∙ (-2b).
- Сведите подобные слагаемые:
1) 56 - 8а + 4b - а;
2) 17 - 2р + 3р + 19;
3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;
4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.
1) 4(5х - 7) + 3х + 13;
2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);
3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:
1) 3(8а - 4) + 6а;
2) 7р - 2(3р - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;
2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;
3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;
4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.
- Упростите выражение и найдите его значение:
1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;
2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;
3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;
4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.
- Докажите тождество:
1) -(2х - у)=у - 2х;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).
- Докажите тождество:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - р) + 7р = 14;
3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);
4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.
- Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
- Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.
1) х - (х - (2х - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));
4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));
5) (6а - b) - (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Раскройте скобки и упростите выражение:
1) а - (а - (3а - 1));
2) 12m - ((а - m) + 12а);
3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).
- Докажите тождество:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);
3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).
- Докажите тождество:
1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);
2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Докажите, что значение выражения
1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.
- Докажите, что при любом значении переменной значение выражения
а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)
является одним и тем же числом.
- Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
- Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.
Упражнения для повторения
- Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
- Сколько процентов составляет число 20 от своего:
1) квадрата;
- Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.
Интересные задачи для учеников ленивых
- В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.
Каждый школьник младших классов знает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, это утверждение верно и для множителей и произведения. То есть, согласно переместительному закону,
a + b = b + a и
a · b = b · a.
Сочетательный закон утверждает:
(a + b) + c = a + (b + c) и
(ab)c = a(bc).
А распределительный закон констатирует:
a(b + c) = ab + ac.
Мы вспомнили самые элементарные примеры применения данных математических законов, но все они распространяются на весьма широкие числовые области.
При любом значении переменной х значение выражений 10(х + 7) и 10х + 70 равны, так как для любых чисел выполняется распределительный закон умножения. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны на множестве всех чисел.
Значения выражения 5х 2 /4а и 5х/4 в силу основного свойства дроби равны при любом значении х, кроме 0. Такие выражения называют тождественно равными на множестве всех чисел. Кроме 0.
Два выражения с одной переменной называются тождественно равными на множестве, если при любом значении переменной, принадлежащем этому множеству, их значения равны.
Аналогично определяют тождественное равенство выражений с двумя, трёмя и т.д. переменными на некотором множестве пар, троек и т.д. чисел.
Например, выражение 13аb и (13а)b тождественно равны на множестве всех пар чисел.
Выражение 7b 2 c/b и 7bc тождественно равны на множестве всех пар значений переменных b и c, в которых значение b не равно 0.
Равенства, в которых левая и правая части – выражения, тождественно равные на некотором множестве, называются тождествами на этом множестве.
Очевидно, что тождество на множестве обращается в истинное числовое равенство при всех значениях переменной (при всех парах, тройках и т.д. значений переменных), принадлежащих этому множеству.
Итак, тождество – это равенство с переменными, верное при любых значениях входящих в него переменных.
Например, равенство 10(х + 7) = 10х + 70 является тождеством на множестве всех чисел, оно обращается в истинное числовое равенство при любом значении х.
Истинные числовые равенства также называют тождествами. Например, равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 – тождество.
В курсе математики приходится выполнять различные преобразования. Например, сумму 13х + 12х мы можем заменить выражением 25х. Произведение дробей 6а 2 /5 · 1/a заменим дробью 6а/5. Получается, что выражения 13х + 12х и 25х тождественно равны на множестве всех чисел, а выражения 6а 2 /5 · 1/a и 6а/5 тождественно равны на множестве всех чисел, кроме 0. Замену выражения другим выражением, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием выражения на этом множестве.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Рассмотрим две равенства:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.
О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .
Понятие тождества
Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.
Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
5. a*b = b*a;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
8. a + 0 = a;
9. a*0 = 0;
10. a*1 = a;
11. a*(-1) = -a.
Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называюттождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:
1. (a 2) 4 и a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .
Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.
Примеры тождеств
Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
4. a-b = b-a.
Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.
А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:
5 - 2 = 2 - 5;
3 = -3.
Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.
