2. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен
:
количество сторон (в нашем случае 8.
Получаем точки А1, А2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.
А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
n-
угольника
3. Соединим центры окружности и одну из точек их пересечения
Мы получаем правильный треугольник
1
. Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга.
2
. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника.
3. Соединим точки пересечения окружностей.
5 . Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.
Мы получаем правильный шестиугольник
Доказательство существования правильного
n-
угольника
Если
n
(число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует.
Пробуем построить 8ми угольник и докажем это.
1. Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке « О »
Построение треугольника при помощи циркуля и линейки
«
O
» .
2. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящая через точку «О».
4. Соединим точки, лежащие на окружности.
Получаем правильный восьмиугольник.
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных
n-
угольников, если равенство
n =
+ 1
, где
n –
количество углов, а
k
– любое натуральное число
.
Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, равных частей
.
В 1836 году
Ванцель
доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя.
Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.
4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью
ЛИТЕРАТУРА
Атанасян
Л. С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов образовательных учреждений. – М: «Просвещение». 1998.
Б. И. Аргунов, М. Б.
Балк
. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М.,
Учпедгиз
, 1957 – 268 с.
И. Ф.
Шарыгин
, Л. Н.
Ерганжиева
. «Наглядная геометрия».
Еще
одним
великим математиком изучавшим правильные многоугольники был
Евклид
или
Эвклид
(др. греч.
Εὐκλείδης
, от «добрая слава»
ок
. 300 г. до н. э.)
–
автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике
.
Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряды вопросов теории чисел
;
в ней он подвёл итог дальнейшего развития математики. В
IV
книге он описал построение правильных многоугольников при
n
равном
3
, 4, 5, 6, 15
и определил первый критерий построения многоугольников.
Построение правильного восьмиугольника.
1. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника.
2. Соединим противоположные вершины четырёхугольника
3. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями
Треугольники
, сторонами которых являются ближайшие радиусы и
стороны получившегося восьмиугольника равны по двум сторонам и углу между ними, соответственно стороны восьмиугольника равны и он является правильным. Данное доказательство применимо не только к восьмиугольникам
,
но и к многоугольникам с количеством углов
больше 2-х
. Что и требовалось доказать
.
Доказательство существования правильного
n-
угольника
А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
4 . Проводим прямые через точки пересечения окружностей
5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности
Получаем правильный четырёхугольник.
Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.
6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника.
7. Достроим до пятиугольника
Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одним из них был
Архимед.
Архимед
– известный древнегреческий математик, физик и инженер. Он сделал множество открытий в геометрии, ввёл основы механики, гидростатики, создал множество важных изобретении. Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его открытия послужили для современных изобретений.
Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.
1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем прямую линию через центр окружности.
3. Проведем дугу окружность того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.
Презентация на тему: «Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки»
Подготовил:
Гурома
Денис
ученик 10 класса МБОУ школы №3
Учитель:
Наимова
Татьяна Михайловна
2015 год
3. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник.
Доказательство существования правильного
n-
угольника
А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
Построение правильного четырёхугольника.
1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем 2 взаимно перпендикулярные диаметра.
3. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).
Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.
4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей.
5. Проведем 2 отрезка.
В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.
Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки
Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку , с помощью циркуля и линейки.
Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.
Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.
На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.
Рассмотрим этапы построения параллельной прямой :
На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.
Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки
Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а , необходимо:
- Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
- Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
- Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.
Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:
$a \parallel b$, т. $M \in b$.
Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.
Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой
В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.
Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.
- Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
- Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
- На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
- С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.
Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.
Другие способы построения параллельных прямых
Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.
При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.
Геометрические задачи на построение
С помощью циркуля и линейки
учащаяся 8-А класса
Руководитель: Москаева В.Н.,
учитель математики
Введение
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности.
А. Д. Александров
Собираясь в школу, мы не забываем положить в портфель циркуль, линейку и транспортир. Эти инструменты помогают выполнить грамотно чертежи и красиво нарисовать. Данные инструменты используют инженеры, архитекторы, рабочие, конструкторы одежды, обуви, строители, ландшафтные дизайнеры. Хотя существуют компьютеры, но на стройке, в саду их пока не используешь.
Машина рисует мгновенно в течение нескольких секунд. Математик должен потратить довольно много времени, чтобы на языке, понятном машине объяснить ей то, что она должна сделать - написать программу и ввести её в машину, поэтому конструкторы нередко предпочитают работать с простейшими и древнейшими инструментами – циркулем и линейкой.
Что может быть проще? Гладкая дощечка с ровным краем - линейка, две заостренные палочки, связанные на одном конце - циркуль. С помощью линейки через две заданные точки проводят прямую. С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса, отложить отрезок, равный данному.
Циркуль и линейка известны более 3 тысячи лет были уже известны, 200-300 лет назад их украшали орнаментами и узорами. Но, несмотря на это они и сейчас исправно служат нам. Простейших инструментов достаточно для огромного количества построений. Древние греки думали, что возможно любое разумное построение выполнить этими инструментами, пока не обнаружили три знаменательные задачи древности: «квадратуру круга», «трисекцию угла», «удвоение куба».
Поэтому считаю тему моей работы современной и важной для деятельности человека во многих сферах деятельности человека.
Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач.
Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.
Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов - прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.
Программа по геометрии предполагает изучение лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Поэтому, объектом моего исследования являются геометрические фигуры, построенные с помощью циркуля и линейки.
Цель моей работы: рассмотреть различные способы построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.
Методы исследования:
ü Анализ уже существующих способов построений
ü Поиск новых способов, простых в применении (ГМТ и построения Штейнера)
Задачи:
ü получить более полное представление о различных способах построений
ü проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики
ü продолжить развитие исследовательских умений.
Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки-математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем – линейки и двух заостренных палок, связанных на одном конце – циркуля. Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.
Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.
Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки .
Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности, привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.
Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.
Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.
3. Простейшие задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки
Рассмотрим основные (элементарные) построения, которые наиболее часто встречаются в практике решения задач на построение. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.
Построение 1. Построение отрезка, равного данному.
Дано: отрезок длины а.
Построить: отрезок АВ длины а.
Построение:
Построение 2. Построение угла, равного данному.
Дано: ∟AOB.
Построить: ∟ KMN, равный ∟ АОВ.
Построение:
Построение 3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).
Дано: отрезок АВ.
Построить: точку О – середину АВ.
Построение:
Построение 4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).
Дано: ∟ АВС.
Построить: ВD – биссектрису ∟АВС.
Построение:
Построение 5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку.
а) Дано: прямая а, точка A а.
Построить:
прямой а.
Построение
:
б) Дано: прямая а, точка A a.
Построить: прямую, проходящую через точку А, перпендикулярно к
прямой а.
Построение:
Построение 6 . Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
Дано: прямая а, точка A a.
Построить: прямую, проходящую через точку А, параллельно прямой а.
I способ (через два перпендикуляра).
Построение:
II способ (через параллелограмм).
Построение:
Построение 7. Построение треугольника по трем сторонам.
Дано: отрезки длины a, b, c.
Построить: Δ ABC.
Построение:
Построение 8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: отрезки длины b, c, угол α.
Построить: треугольник ABC.
Построение:
Построение 9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
Дано: отрезок длины c, углы α и β.
Построить: ΔABC.
Построение:
Построение 10. Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.
Дано: окружность (О), точка А вне ее.
Построить: касательную к окружности ω(О), проходящую через точку А.
Построение:
Рассмотренные задачи входят в качестве составных частей в решение более сложных задач, поэтому в дальнейшем, этапы основных построений не описываются.
Решение задач на построение состоит из четырех частей:
1. Предположив, что задача решена, делаем от руки приблизительный чертеж искомой фигуры и затем, внимательно рассматриваем начерченную фигуру, стремясь найти такие зависимости между данными задачи и искомыми, которые позволили бы свести задачу на другие, известные ранее. Эта самая важная часть решения задачи, имеющая целью составить план решения, носит название анализа.
2. Когда таким образом план решения найден, выполняют сообразно ему построение.
3. Доказательство - для проверки правильности плана на основании известных теорем доказывают, что полученная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.
4. Исследование - задаются двумя вопросами:
1) При всяких ли данных возможно решение?
2) Сколько существует решений?
Рассмотрим применение данных этапов на примере решения следующей задачи.
Задача: Построить треугольник, зная его основание b, угол A, прилежащий к основанию, и сумму s двух боковых сторон.
Анализ: Предположим, что задача решена, т.е. найден такой ΔAВС, у которого основание AС=b, ∟ВАС=A и AВ+ВС=s . Рассмотрим теперь полученный чертеж. Сторону AС, равную b , ∟ВАС=A , мы строить умеем. Значит, остается найти на другой стороне ∟A такую точку В , чтобы сумма AВ+ВС равнялась s . Продолжив AВ , отложим отрезок AD , равный s . Теперь вопрос приводится к тому, чтобы на прямой AD отыскать такую точку В , которая была бы одинаково удалена от С и D . Такая точка как мы знаем, должна лежать на перпендикуляре, проведенном к отрезку СD через его середину. Точка В найдется в пересечении этого перпендикуляра с АD .
Построение:
1. Строим ∟А
, равный данному углу
2. На его сторонах откладываем AС=b и AD=s
3. Через середину отрезка прямой СD проводим перпендикуляр ВЕ
4. ВЕ пересекает AD в точке В
5. Соединяем точки В и С
6. ΔAВС - искомый.
Доказательство:
Рассмотрим полученный ΔAВС, в нем ∟А равен данному углу (по пункту №1 построения). Сторона AС=b (пункт №2) и стороны АВ и ВС в сумме составляют s (пункты №2,3,4). Следовательно по 1-му признаку равенства треугольников ΔAВС - искомый.
Исследование:
1. При всяких ли данных возможно решение?
Рассматривая построение, мы замечаем, что задача возможна не при всяких данных. Действительно, если сумма s задана слишком малой сравнительно с b, то перпендикуляр ВЕ может не пересечь отрезка AD (или пересечет его продолжение за точку D), в этом случае задача окажется невозможной.
И, независимо от построения, можно видеть, задача невозможна, если s < b или s =b , потому что не может быть такого треугольника, у которого сумма двух сторон была бы меньше или равна третьей стороне.
2. Сколько существует решений?
В том случае, когда задача возможна, она имеет только одно решение, т.е. существует только один треугольник, удовлетворяющий требованиям задачи, так как пересечение перпендикуляра ВЕ с прямой AD может быть только в одной точке.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27
Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.
Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка АВ. Решение было уже дано на стр. 174-175. Далее, на стр. 175-176 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности АВ с центром О. Вот описание этого построения (рис. 47). Радиусом АО проводим две дуги с центрами A и В. От точки О откладываем на этих дугах две такие дуги ОР и OQ, что OP = OQ = АВ . Затем находим точку R пересечения дуги с центром Р и радиусом РВ и дуги с центром Q и радиусом QA. Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок OR, опишем дугу с центром Р или Q до пересечения с дугой AВ - точка пересечения и является искомой средней точкой дуги АВ. Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.
Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:
- Провести окружность, если заданы ее центр и радиус.
- Найти точки пересечения двух окружностей.
- Найти точки пересечения прямой и окружности.
- Найти точку пересечения двух прямых.
Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.
Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данного круга С с прямой, проходящей через данные точки А и В. Проведем дуги с центрами А и В и радиусами, соответственно равными АО и ВО, кроме точки О, они пересекутся в точке Р. Затем построим точку Q, обратную точке Р относительно окружности С (см. построение, описанное на стр. 174). Наконец, проведем окружность с центром Q и радиусом QO (она непременно пересечется с С): ее точки пересечения Х и Х" окружностью С и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек X и X" находится на одинаковых расстояниях от О и P (что касается точек А и В, то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке Q, отстоит от точек X и Х" на расстояние, равное радиусу круга С (см. стр. 173). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки X, X" и О, является обратной прямой АВ в инверсии относительно окружности С, так как эта окружность и прямая АВ пересекаются с С в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.) Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая АВ проходит через центр С. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 178, как середины дуг С, получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром В, пересекающуюся с С в точках В 1 и В 2 .
Метод проведения окружности, обратной прямой," соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками А, В и A", В" (рис. 50) Проведем произвольную окружность С и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым АВ и А"В". Эти окружности пересекаются в точке О и еще в одной точке Y, Точка X, обратная точке Y, и есть искомая точка пересечения: как ее построить - уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что Y есть единственная точка, обратная точке, одновременно принадлежащей обеим прямым АВ и А"В", следовательно, точка X, обратная Y, должна лежать одновременно и на АВ, и на А"В".
Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквивалентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.
Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем построение правильного пятиугольника; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, которые могут служить вершинами правильного вписанного пятиугольника.
Пусть Л- произвольная точка на окружности К. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить на К такие точки В, С, D, что АВ = ВС = CD = 60° (рис. 51). Проводим дуги с центрами А и D радиусом, равным АС; пусть они пересекаются в точке X. Тогда, если О есть центр K, дуга с центром А и радиусом ОХ пересечет К в точке F, являющейся серединой дуги ВС (см. стр. 178). Затем радиусом, равным радиусу K, опишем дуги с центром F, пересекающиеся с K в точках G и H. Пусть Y есть точка, расстояния которой от точек G и Н равны ОХ и которая отделена от X центром О. В таком случае отрезок AY как раз и есть сторона искомого пятиугольника. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Интересно отметить, что при построении используются только три различных радиуса.
В 1928 г. датский математик Ельмслев нашел в книжной лавке в Копенгагене экземпляр книги под названием Euclides Danicus , опубликованной в 1672 г. никому не известным автором Г. Мором. По титульному листу можно было сделать заключение, что это просто один из вариантов евклидовых "Начал", снабженный, может быть, редакторским комментарием. Но по внимательном рассмотрении оказалось, что в ней содержится полное решение проблемы Маскерони, найденное задолго до Маскерони.
Упражнения. В дальнейшем дается описание построений Мора. Проверьте их правильность. Почему можно утверждать, что они решают проблему Маскерони?
Вдохновляясь результатами Маскерони, Якоб Штейнер (1796-1863) предпринял попытку исследования построений, выполнимых с помощью одной только линейки. Конечно, одна только линейка не выводит за пределы данного числового поля, и потому она недостаточна для выполнения всех геометрических построений в классическом их понимании. Но тем более замечательны результаты, полученные Штейнером при введенном им ограничении - пользоваться циркулем только один раз. Он доказал, что все построения на плоскости, выполнимые с помощью циркуля и линейки, выполнимы также с помощью одной линейки при условии, что задан единственный неподвижный круг вместе с центром. Эти построения подразумевают применение проективных методов и будут описаны позднее (см. стр. 228).
* Без круга, и притом с центром, обойтись нельзя. Например, если дан круг, но не указан его центр, то найти центр с помощью одной линейки невозможно. Мы сейчас докажем это, ссылаясь, однако, на факт, который будет установлен позднее (см. стр. 252): существует такое преобразование плоскости самой в себя, что а) заданная окружность остается неподвижной, b) всякая прямая линия переходит в прямую, с) центр неподвижной окружности не остается неподвижным, а смещается. Само существование такого преобразования свидетельствует о невозможности построить центр данной окружности, пользуясь одной линейкой. В самом деле, какова бы ни была процедура построения, она сводится к ряду отдельных этапов, заключающихся в проведении прямых линий и нахождении их пересечений друг с другом или с данной окружностью. Представим себе теперь, что вся фигура в целом - окружность, а все прямые, проведенные по линейке при выполнении построения центра, подвергнуты преобразованию, существование которого мы здесь допустили. Тогда ясно, что фигура, полученная после преобразования, также удовлетворяла бы всем требованиям построения; но указываемое этой фигурой построение приводило бы к точке, отличной от центра данной окружности. Значит, построение, о котором идет речь, невозможно.
Греческие геометры гордились собой из-за своей логической чистоты; тем не менее, что касается физического пространства, они руководствовались интуицией. Одной из сторон греческой геометрии, на которую особенно влияли физические соображения, была теория построений. Многое из элементарной геометрии прямых линий и кругов можно рассматривать как теорию построений с помощью линейки и циркуля. Само название предмета, линии и круги, отражает инструменты, которые использовались для их проведения. И многие из элементарных проблем геометрии, например, деление пополам отрезка прямой или угла,
построение перпендикуляра или проведение круга через три заданные точки, можно решить построениями с помощью линейки и циркуля.
Когда введены координаты, нетрудно показать, что точки, допускающие построение из точек имеют координаты во множестве чисел, созданном из координат посредством операций и [см. Муаз (1963) или упражнения к разделу 6.3]. Квадратные корни, конечно, появляются вследствие теоремы Пифагора: если построены точки и тогда построено расстояние между ними (раздел 1.6 и рисунок 2.4). Обратно, возможно построение для любой заданной длины I (упражнение 2.3.2).
Рисунок 2.4: Построение расстояния
Если взглянуть с этой точки зрения, то построения с помощью линейки и циркуля выглядят весьма специальными и, маловероятно, что дадут, такие числа так, например, Однако греки очень упорно пытались решить именно эту задачу, которая была известна как удвоение куба (так называемая потому, что для того, чтобы удвоить объем куба, нужно было умножить сторону на Другими печально известными задачами были трисекция угла и квадратура круга. Последняя задача заключалась в построении квадрата, равного по площади заданному кругу, или в построении числа которое равновелико тому же. По-видимому, они никогда не отказывались от этих целей, хотя признавали возможность отрицательного решения и допускали решения посредством менее элементарных средств. В следующих разделах мы увидим некоторые из них.
Невозможность решения этих задач построениями с помощью линейки и циркуля оставалась недоказанной до девятнадцатого столетия. Что касается удвоения куба и трисекции угла, то невозможность показана Вантцелем (1837). Честь решения этих задач, над которыми бились лучшие математики в течение 2000 лет, редко приписывают Вантцелю, возможно, потому, что его методы вытеснила более мощная теория Галуа.
Невозможность квадратуры круга доказана Линдеманом (1882), очень строгим способом, не только неопределимо рациональными операциями и квадратными корнями; оно также трансцендентно, то есть не является корнем какого-либо полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Как и работа Вантцеля, это был редкий пример значительного результата, доказанного незначительным математиком. В случае Линдемана, объяснение, возможно, заключается
В том, что уже был сделан важный шаг, когда Эрмит (1873) доказал трансцендентность Доступные доказательства обоих этих результатов можно найти у Клейна (1924). Последующая карьера Линдемана была математически непримечательной, даже смущающей. Отвечая скептикам, которые полагали, что его успех с был счастливой случайностью, он нацелился на самую известную нерешенную задачу в математике «последнюю теорему Ферма» (о возникновении этой задачи см. главу 11). Его усилия кончились неудачей в ряде неубедительных статей, каждая из которых исправляла ошибку в предыдущей. Фрич (1984) написал интересную биографическую статью о Линдемане.
